北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §3 3.2 向量的数乘与向量共线的关系.ppt

§3从速度的倍数到向量的数乘

3.2向量的数乘与向量共线的关系;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、共线(平行)向量基本定理

【问题思考】

1.若b=2a,则b与a共线吗?

提示:根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线.

2.若b与非零向量a共线,则是否存在实数λ满足b=λa?若b与向量a共线呢?

提示:若b与非零向量a共线,则存在实数λ满足b=λa;若b与向量a共线,当a=0,b≠0时,不存在λ满足b=λa.;3.共线(平行)向量基本定理:给定一个非零向量b,则对任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得a=λb.

4.想一想:定理中把“b≠0”去掉可以吗?

提示:定理中b≠0不能去掉.若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使得a=λb.;二、直线的向量表示

【问题思考】

1.能否用向量刻画直线呢?;3.试判断下列三点(P,A,B)共线吗?;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)若b=λa(a≠0),则a与b方向相同或相反.()

(2)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa.()

(3)共线向量定理中,条件b≠0可以去掉.()

(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.();合作探究·释疑解惑;探究一向量共线的判定;解析:A中,∵b=-3a,∴a与b共线;

B中,b=-2a,则a与b共线;;反思感悟向量共线的判断是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.;【变式训练1】若向量e1,e2不共线,则下面的四组向量中共线的是().

A.e1+e2和e1-e2

B.3e1-2e2和4e2-6e1

C.e1+3e2和e2+3e1

D.e2和e1+e2;所以向量e2和e1+e2不共线.

答案:B;探究二由向量共线确定参数的值;反思感悟利用向量共线求参数的方法:判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程(组),从而解方程(组)求得λ的值.;【变式训练2】若a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同,则当实数t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上?;探究三利用向量共线定理证明三点共线;反思感悟证明或判断三点共线的方法:

(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否???线,只需看是否存在实;答图2-3-1;易错辨析;审题不细致致误

【典例】已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线.

错解:设存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:错解中对向量共线的条件理解不清,只有当a,b不共线,且λa=μb时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此上述解法是错误的.;正解:①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.

②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),

则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,于是3e1+2e2=(3e1-2e2),

这时3e1+2e2与3e1-2e2共线.

防范措施对于向量共线问题一定要掌握好共线向量定理,并知道定理中对各个量的限制条件.;随堂练习;1.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k等于().

A.1 B.-1

C.-2 D.-4

解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以存在唯一一个实数λ,使ka+2b=λ(8a+kb)??k=-4(因为方向相反,所以λ0?k0).

答案:D;答案:ABD;A.平行四边形 B.菱形

C.矩形 D.等腰梯形;答案:2;5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=.?

解析:由题意可设存在唯一一个实数λ1,

使a+λb=λ1(-b+3a)=3λ1a-λ1b.

因为a与b不共线,