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基于深度学习的初中数学建模探究

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朱建良

初中数学建模学习是指在理解的基础上建立数学模型，类比迁移，运用数学模型批判地学习新思想、分析事实，并将新知识融入原有的认知结构中，进而提升学习层次和探究能力。

初中数学建模教学的一般思路是“提出问题——分析问题——选择模型——建立模型——得出结论”，以问题的探究为主要目标，引导学生学会大胆质疑、思想碰撞，产生火花，从而让学生思考得更深刻，有效提升学生思维的广度和深度。笔者以“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”教学设计为例进行了实践性的思考与总结，谈谈教学设计中的深度学习应呈现出什么样的状态，教学设计在建模学习的过程中能够发挥什么样的作用，建模学习是如何帮助学生进行深度学习的，请同行指正。

学习目标要求本课内容为九年级数学复习课“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”，要求学生能通过对具体问题的分析，体会函数变量之间的变化关系，探究发现几何中线段和差最值的转化与建模途径，培养学生综合运用知识解决二次函数的相关问题的能力。

一、提出问题

提出要探究的问题，引导学生寻找解决问题的数学模型，设计具有挑战性的问题，培养几何直观、运算与推理能力，建构知识，生成能力，迁移方法。

教学活动1探究下列问题，画出对应的几何模型

问题1抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。点P是该抛物线对称轴上的一个动点，要使得△PAC的周长最小，求点P坐标。

解析：如图1，连接BC，交直线x=3于点P，根据对称性有PA=PB，求出直线BC的表达式为y=-4x+16，∴点P（3，4）。

【设计意图】找出点A关于直线x=3的对称点B，连接CB，依据“两点之间线段最短”揭示此类求线段和最小值题目的本质特征，为学生解决后续问题铺设台阶，有效提升学生识图建模能力。

二、变式探究

在不改变知识本质特征的前提下，变换其非本质特征，引导学生在动态变化的情境中强化对本质特征的理解，将已有的知识迁移到动态的情境中，理解数学模型的价值，探究真问题，拓展数学思维的深度和广度。

教学活动2梳理数学模型，寻求问题1和变式问题的内在联系

变式1抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。抛物线上有一点E，E的横坐标为5，点F（m，0）是x轴上的一个动点，当FC+EF的值最小时，求m的值。

解析：如图2，作点[E]关于[x]轴的对称点[E]，连接[CE]交[x]轴于点[F]，求得直线[CE]的表达式为y=[-225x+16]，∴[F（4011，0）]。根据两点间线段最短，[FC+EF=FC+EF=CE]，此时[FC+EF]的值最小，[m=4011]。

变式2抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，点[G（0，n）]是[y]轴上的一个动点，求线段[GD]与[GA]中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的[n]的值。

解析：如图3，当[A]、[G]、[D]三点共线时，[GD-GA=AD]，求得直线[AD]的表达式为[y=-2x+4]，此时[G（0，4）]，∴[n=4]。当[GD][-GA=0]，即[GD=GA]时，[GD-GA]有最小值为[0]。此时[AD]的垂直平分线[GE]的表达式为[y=12x-94]，[G（0，-94）]，∴[n=-94]。

变式3抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，[K]是[OC]中点。一个动点[Q]从[K]点出发，先经过[x]轴上的[M]点，再经过抛物线对称轴上的点[N]，然后返回到[C]，如果动点[Q]走过的路程最短，请找出点[M]、[N]位置，并求出最短路程。

解析：如图4，根据对称性分别找出点[K]、点[C]的对称点[K]、[C]，再连接[KC]，分别交[x]轴于点[M]，交直线[x=3]于点[N]，动点[Q]的最短路程为[S=KM+MN+CN=KM+MN+CN]，∴[S=KC]。可求出[C（6，16）]，[K（0，-8）]，∴最短路程[S=617]。

【设计意图】以上问题及变式，强化了学生对数学模型的认识、积累。学生通过寻找对称点，求解线段和、差最值问题，掌握方法与策略，再通过变式训练，便真正能知其然，更能知其所以然。学生经历化繁为简、转难为易的深度思考，学会在新情境中运用新结论解决问题，深度学习的雏形初现。

三、拓展提升

設计思维清晰的系列问题，引导学生感知求解方法是建立在数学模型基础上的。通过对比上述建模解题的方法，积累经验，引发学生深入思考，真正将其内化，实现由低阶思维走向高阶思维。

教学活动3体验建构过程，挑战新问题

问题2如图5，已知一条