高中数学课件：4-4数学归纳法 二.pdfVIP

4.④数学归纳法

情景引入

我是我是我是猜：

一毛二毛三毛四毛!

我是

谁?

不完全归纳：从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出

这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法

探究新知

问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖?

把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.

完全归纳法

不完全归纳法

(1)求出数列前4项，你能得到什么猜想?

猜想

01

a?=1=a?=1→a?=1→a?

a,●1(n●N*)

(2)你的猜想一定是正确的吗?思考：能否通过有限个步骤

逐一验证，不可能!!!的推理，证明n取所有正整数

都成立?

情景引入

我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放

骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若

前一块骨牌倒下，则一定导致后块骨牌倒

下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致

第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可

导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有

多少块骨牌，都能全部倒下.

探究新知

思考1:在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

思考2:你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言描述它?

条件(2)实际上是给出了一个递推关系.

数学语言：第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下

结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有

的骨牌都能倒下.

探究新知

计算a?,a?,Q4

探究：已知数列{a?}满足a?=1,an+1=2-,

猜想其通项公式，并证明你的猜想.

解：由a?=1,计算可得a?=1,a?=1,a?=1.

由此可猜想：an=1.

证明：(1)当n=1时，a?=1显然成立.

(2)假设n=k时，结论成立，即ak=1.

当n=k+1时，(

an=2-a=1.

即当n=k+1时，结论也成立.

由(1)(2)可知，an=1对任何n∈N*都成立.

探究新知数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n=n?(n?∈N)时命题成立；

推出“当_n=k+1时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n?开始的所有正整

数n都成立.

这种证明方法称为数学归纳法.

思考：数学归纳法的第一步n?的初始值是否一定为1?

探究新知

数学归纳法的框图表示：

验证n=no时命题若n=k(k≥no)时命题成立，

成立