专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）（解析版） .docx

专题01锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）

题型一正弦、余弦与正切的概念辨析

题型二求角的正弦值

题型三已知正弦值求边长

题型四求角的余弦值

题型五已知余弦值求边长

题型六求角的正切值

题型七已知正切值求边长

知识点1：正切与余切

1.正切

直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．

．

2.余切

直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．

．

a

a

c

A

B

C

b

知识点2：正弦与余弦

1.正弦

直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．

．

2.余弦

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．

．

a

a

c

A

B

C

b

【经典例题一正弦、余弦与正切的概念辨析】

【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（????）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得．

【详解】解：如图，

∵，

∴，故①错误；

∵，

∴，故②正确、④错误；

∵，

∴，故③正确，

∴正确的有个．

故选：B．

??

1．（2023·浙江杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（）

A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝

【答案】D

【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．

【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，

则cosA＝＝，故A错误；

sinB＝＝，故B错误；

tanA＝，故C错误；

tanB＝＝，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．

2．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，CD是斜边AB上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是．

【答案】，，，

【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解．

【详解】解：如图所示，

??

∵CD是斜边AB上的高，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：，，，．

【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键．

3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）

【答案】．

【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得．

【详解】解：如图，分别作，垂足分别为，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

【经典例题二求角的正弦值】

【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的正弦值（）

??

A．扩大2倍 B．缩小 C．扩大4倍 D．不变

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义解答即可．

【详解】解：∵中，，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，

∴的正弦值不变．

故选：D．

【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

1．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，点在正方形网格的格点上，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如图，取格点，连接交于，则，设，则，利用勾股定理求出，可得结论.

【详解】解：如图，取格点，连接交于，则A、C、D三点共线，且，

设，则，

在中，，

．

故选D．

【点睛】本题考查求角的正弦值、勾股定理与网格问题，根据网格构造直角三角形是解题的关键．

2．（2024·浙江杭州·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若的顶点都在格点上，则的值为．

??

【答案】

【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接格点、，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，，再根据三角函数的定义即可求解．

【详解】解：连接格点、．

由题图知：，，，．

，，

．

是直角三角形．

．

．

在中，．

故答案为：．

??

3．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．

??

(1)求证：；

(