专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）（浙教版）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

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专题1.1二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点1】二次函数全章知识结构图

【知识点2】二次函数有关概念

（1）定义：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.

（2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.【知识点3】二次函数的解析式

（1）三类解析式

一般式：(a、b、c是常数，)；

顶点式：()，二次函数的顶点坐标是（h，k)；

交点式：()，其中x1，x2是图像与x轴交点的横坐标．

（2）待定系数法求解析式

①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；

②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；

③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

【知识点4】二次函数的图象与性质

开口

方向

a0时，开口向上；a0时，开口向下.

对称轴

y轴

y轴

x=h

x=h

顶点

与

最值

(0，0)

(0，k)

(h，0)

(h，k)

a0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或)；

a0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或).

增

减

性

a0

x0(h或)时，y随x的增大而减小；x0(h或)时，y随x的增大而增大。

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。

a0

x0(h或)时，y随x的增大而增大；x0(h或)时，y随x的增大而减小。

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

对称性

1.图象是轴对称图形；

2.抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；

3.抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.

【知识点5】二次函数的图象与各项系数之间的关系

(1)的正负决定开口方向:，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.

的大小决定开口的大小:越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.

(2)、b的符号共同决定对称轴的位置

当时，，对称轴为y轴；

当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；

当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）

(3)c决定抛物线与轴的交点的位置

当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；

当c＝0时，抛物线经过原点；

当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.

【知识点6】二次函数图象的变换

（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：

（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.

【知识点7】二次函数与一元二次方程

二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.

（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；

（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；

（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.

【知识点8】二次函数与不等式

（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；

（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.

【知识点9】二次函数的应用

（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.

（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.

（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.

（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】求二次函数的解析式

【例1】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式．

【答案】

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．

解：将，，代入抛物线中得：

，

解方程组得：，

∴抛物线的解析式为：．

【变式1】．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（????）

A．4 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．

先用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求解．

解：把，分别代入，得

，

解得：，

∴

∵

∴当时，y有最小值，最小值为，

故选：B．

【变式2】（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于