辽宁省大连市高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5.docx

辽宁省大连市高中数学第三章不等式3.2均值不等式教案新人教B版必修5

科目

授课时间节次

--年—月—日（星期——）第—节

指导教师

授课班级、授课课时

授课题目

（包括教材及章节名称）

辽宁省大连市高中数学第三章不等式3.2均值不等式教案新人教B版必修5

教材分析

《新人教B版必修5》第三章“不等式”中的3.2节“均值不等式”，是高中数学不等式部分的核心内容。本节主要围绕均值不等式的概念、性质及证明方法展开，通过引入算术平均数与几何平均数的关系，引导学生发现并理解均值不等式的本质，进而探讨其在解决实际问题中的应用。课程设计将紧扣教材，以教材中的例题为载体，深化学生对均值不等式的理解，培养其逻辑推理能力和解决实际问题的能力，符合高中二年级学生的知识水平和认知发展需求。

核心素养目标分析

教学难点与重点

1.教学重点

-理解并掌握均值不等式的定义及其数学表达。

-学会均值不等式的证明方法，特别是综合法和分析法。

-能够应用均值不等式解决实际问题，体会其在数学及现实生活中的应用价值。

例如，强调均值不等式在比较大小、证明不等式、求解最值等问题中的应用，如通过比较算术平均数与几何平均数的大小关系，推导出均值不等式。

2.教学难点

-理解均值不等式背后的数学原理，特别是几何平均数不大于算术平均数的直观意义。

-掌握均值不等式的证明过程，特别是逻辑推理的严密性和步骤的清晰性。

-在实际问题中识别并恰当运用均值不等式。

针对难点，通过具体例题，如比较两个正数的算术平均数与几何平均数，指导学生逐步理解几何图形在均值不等式证明中的作用，以及如何将实际问题转化为数学模型，进而运用均值不等式求解。

教学方法与策略

1.选择讲授与探究相结合的教学方法，结合学生的认知特点，以问题驱动引导学生主动思考，通过小组讨论和合作学习激发学生的探究兴趣。

-通过讲解均值不等式的概念和性质，结合实际案例，引导学生理解其应用场景。

-设计探究性问题，如让学生通过实际数据比较算术平均数与几何平均数，发现均值不等式的规律。

2.教学活动设计包括：

-利用数学软件或实物模型进行实验，让学生直观感受均值不等式的几何意义。

-组织小组竞赛，通过解决均值不等式的相关题目，增强学生的团队协作和解决问题的能力。

3.教学媒体使用：

-使用多媒体课件展示均值不等式的证明过程和实际应用案例，增强视觉效果，提高学生的学习兴趣。

-利用网络资源提供丰富的拓展材料，供学有余力的学生深入学习和探索。

教学过程

课前准备：

同学们，我们已经学习了不等式的基础知识，今天我们将进入第三章的第二节——均值不等式。请你们准备好课本、笔记本和文具，我们一同探索这个有趣的数学世界。

一、导入新课

1.提问引导：同学们，你们知道什么是算术平均数和几何平均数吗？它们之间有什么关系呢？

2.学生回答：算术平均数是几个数相加后除以个数的结果，几何平均数是几个数乘积的n次方根（n为数的个数）。

3.引入新课：很好，今天我们就来探讨算术平均数和几何平均数之间一个非常重要的关系——均值不等式。

二、探究均值不等式

1.演示实验：我给大家展示一个简单的实验，通过折叠纸张来直观地感受算术平均数和几何平均数之间的关系。

-准备一张纸，标记两个点A和B，分别代表两个正数。

-将纸折叠，使A和B重合，此时折叠点C即为AB的算术平均数。

-再次折叠纸，使点A和C重合，此时点B到折叠线的距离即为几何平均数。

-观察并讨论：同学们，你们发现了什么？算术平均数和几何平均数之间有什么关系？

2.学生讨论：通过实验，我们发现算术平均数总是大于或等于几何平均数。

三、均值不等式的证明

1.提问：谁能想到一种方法来证明这个关系呢？

2.引导学生思考并尝试证明：

-综合法：我们可以从算术平均数和几何平均数的定义出发，通过代数变形来证明。

-分析法：我们也可以从反证法入手，假设几何平均数大于算术平均数，然后推导出矛盾。

3.讲解并板书：现在，我来给大家讲解均值不等式的证明过程。

四、应用均值不等式

1.例题解析：我们通过几个例题来看均值不等式在实际问题中的应用。

-比较两个正数的算术平均数和几何平均数的大小。

-利用均值不等式求解最值问题。

2.学生动手练习：请同学们尝试解决课本上的例题，巩固均值不等式的应用。

五、总结与拓展

1.回顾总结：今天我们学习了均值不等式的概念、性质和证明方法，以及它在实际问题中的应用。请同学们分享一下你的学习心得。

2.拓展思考：除了我们今天学到的应用，均值不等式还有哪些其他的应用场景呢？大家可以在课后继续探索。

六、作业布置

1.请同学们完成课本上的练习题，巩固均值不等式的相关知识。

2.选择一道具有挑战性的题目，尝试用