备考2025年高考数学一轮复习第四章考点测试21.docxVIP

考点测试21同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考

概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低、中等难度

考点

研读

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα

2．能推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式

一、基础小题

1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))的值是()

A.eq\r(2) B．－eq\r(2)

C．0 D.eq\f(\r(2),2)

答案C

解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝0.故选C.

2．若x是第四象限角，且sinx＝－eq\f(4,5)，则cos(π－x)＝()

A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)

C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)

答案D

解析因为x是第四象限角，所以cosx＞0，所以cosx＝eq\r(1－sin2x)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，所以cos(π－x)＝－cosx＝－eq\f(3,5).故选D.

3．已知eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,4)，sinα＝eq\f(1,3)，则cos2β＝()

A．－eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3)

C.eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)

答案C

解析因为2β＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(π,2)－α，所以cos2β＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(1,3).故选C.

4．已知sinθ＝－eq\f(1,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则sin(θ－5π)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))的值是()

A.eq\f(2\r(2),9) B．－eq\f(2\r(2),9)

C．－eq\f(1,9) D.eq\f(1,9)

答案B

解析因为sinθ＝－eq\f(1,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，所以原式＝－sin(π－θ)(－cosθ)＝sinθcosθ＝－eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2),3)＝－eq\f(2\r(2),9).故选B.

5．若tanα＝cosα，则eq\f(1,sinα)＋cos4α的值为()

A.eq\r(2) B．2

C．2eq\r(2) D．4

答案B

解析由题意知，tanα＝cosα，则eq\f(sinα,cosα)＝cosα，故sinα＝cos2α，故eq\f(1,sinα)＋cos4α＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋sin2α＝sinα＋eq\f(cos2α,sinα)＋1－cos2α＝sinα＋eq\f(sinα,sinα)＋1－sinα＝2.故选B.

6．已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(6),3)，0απ，则sinα－cosα＝()

A．－eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)

C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)

答案B

解析因为sinα＋cosα＝eq\f(\r(6),3)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\f(2,3)，即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2,3)，所以2sinαcosα＝－eq\f(1,3).因为0απ，所以cosα0sinα，所以sinα－cosα0.因为(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，所以sinα－cosα＝eq\f(2\r(3),3).故选B.

7．化简：eq\r(\f(1＋sinα,1－