备考2025年高考数学一轮复习第四章考点测试22.docxVIP

考点测试22三角恒等变换及应用

高考

概览

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度

考点

研读

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式

2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系

4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)

一、基础小题

1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosα＝－eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()

A．eq\f(1,7) B．7

C．－eq\f(1,7) D．－7

答案C

解析因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))×1)＝－eq\f(1,7).

2．已知cosθ＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝()

A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)

C．eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)

答案A

解析由题意可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9).故选A.

3.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)

C．eq\r(3) D．eq\r(2)

答案C

解析原式＝eq\f(2cos（30°－20°）－sin20°,sin70°)

＝eq\f(2（cos30°cos20°＋sin30°sin20°）－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).

4．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cosα＋1＝0，则tanα＝()

A.eq\f(\r(2),4) B．2eq\r(2)

C．－2eq\r(2) D．－eq\f(\r(2),4)

答案C

解析3cos2α＋4cosα＋1＝0，3(2cos2α－1)＋4cosα＋1＝0，整理得3cos2α＋2cosα－1＝(3cosα－1)(cosα＋1)＝0，解得cosα＝eq\f(1,3)或cosα＝－1.因为α∈(－π，0)，所以cosα＝eq\f(1,3)，sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(－\f(2\r(2),3),\f(1,3))＝－2eq\r(2).故选C.

5．已知α为锐角，且(eq\r(3)－tan10°)cosα＝1，则α的值为()

A．40° B．50°

C．70° D．80°

答案B

解析∵(eq\r(3)－tan10°)cosα＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(sin10°,cos10°)))·cosα＝1，∴(eq\r(3)cos10°－sin10°)cosα＝cos10°，∴2cos40°cosα＝sin80°，∴2cos40°cosα＝2sin40°·cos40°，∴cosα＝sin40°＝cos50°，又α为锐角，∴α＝50°.故选B.

6．已知cos(α－β)＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(5,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cosα＝()

A．eq\f(33,65) B．eq\f(56,65)

C．－eq\f(33,65) D．－eq\f(56,65)

答案B

解析∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0α\f(π,2)，,－\f(π,2)β0，))∴0α－βπ，cosβ＝eq\f(12,13).又cos(