专题1.1 空间向量及其线性运算-高中数学重难点题型精讲（人教A版选修1）（学生版）.pdf

专题1.1空间向量及其线性运算-重难点题型精讲

1．空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度或模：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

→

AB

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|

→

AB

或||.

(4)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么

(平行向量)这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2．空间向量的线性运算

加法→→→

OAABOB

a＋b＝＋＝

减法→→→

空间向a－b＝OA－OC＝CA

量的线→→

OAPQ

当λ0时，λa＝λ＝；

性运算

数乘→→

OAMN

当λ0时，λa＝λ＝；

当λ＝0时，λa＝0

交换律：a＋b＝b＋a；

运算律结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

3．共线向量

(1)空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

(2)直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

4．共面向量

(1)共面向量

→

OA

如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.

如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向

量．

(2)向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

使p＝xa＋yb.

【题型1空间向量概念的理解】

【方法点拨】

在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件

是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

【例1】（2021秋•城关区校级期末）下列命题中正确的是（）

→→

→→→→