稳健自适应波束形成算法(刘聪锋)第1-3章章-(1).pptVIP

因此，QICLCMP波束形成算法可以描述如下:(4.2-9)由于该波束形成算法一直未能得到有效的求解,因而制约着该算法的应用。1.QICLCMP波束形成算法的求解

令S表示，式(4.2-9)所示的最优化问题的约束条件集合，即

定义函数:

(4.2-11)

其中λ为实值Lagrange乘数，且λ≥0,满足Rx+λI0，因此f1(w,λ,μ)可以相对于参数w最小化，而μ为任意的Lagrange乘数矢量。因此有

f1(w,λ,μ)≤wHRxw,w∈S(4.2-12)

其中该式的等号在S的边界上取得。

考虑条件:(4.2-13)当上面的条件成立时,LCMP的解(4.2-14)满足QICLCMP波束形成算法的模约束条件，因此也是QICLCMP波束形成算法的解。但是对于这种情况λ=0，并且QICLCMP波束形成算法的模约束不起作用。

另外，考虑条件:(4.2-15)该条件约束着参数ε的上限,故QICLCMP波束形成算法不同于LCMP波束形成算法。为了处理这种情况，可以将f1(w,λ,μ)重写如下:(4.2-16)因此，对于给定的λ和μ，f1(w,λ,μ)的无约束最小化解由下式给出:(4.2-17)显然有

(4.2-18)因此，f2(λ,μ)相对于μ的最大化由下式给出:令上式等于零即可解出μ,即(4.2-19)(4.2-20)(4.2-21)对于参数λ的任意矩阵函数F，有如下结论:(4.2-2２)因此,求f3(λ)关于参数λ的最大化,可得(4.2-23)(4.2-24)该最优权矢量将满足QICLCMP波束形成算法的约束条件,即满足以及(4.2-25)(4.2-26)为了获得Lagrange乘数λ，必须利用Newton等方法求解下面的方程:(4.2-27)因此,QICLCMP波束形成算法的关键问题是利用方程(4.2-27)求解最优Lagrange乘数。2.最优Lagrange乘数的求解

为了求解该方程，对样本协方差矩阵进行如下的特征分解（EVD）:

(4.2-28)

其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)为对角矩阵，U=(u1,u2,…,uN)为Hermitian矩阵，λi(i=1,2，…，N)和ui(i=1,2，…，N)分别为Rx的特征值和特征矢量，N为接收数据的自由度。为了分析的方便,假设Rx的特征值（或特征矢量）按照如下所述的降序排列:

λ1≥λ2≥…≥λN(4.2-29)

因此,可得(4.2-30)所以有:

并且令(4.2-33)因此,f(λ)可以被重新表示为(4.2-34)可得以下结论:

对上述结果进行简化，可得如下的简单不等式关系:(4.2-38)(4.2-39)(4.2-40)（1）如果a1，则有:(4.2-41)(4.2-42)由于λ≥0，而λM－aλ10，因此，在a1的条件下，Lagrange乘数λ的取值范围由下式给出:(4.2-43)因此，可得:(4.2-44)利用条件aλ1/λM可得,当1aλ1/λM时,至少存在一个解λ∈［λ(1)min,λ(1)max］满足方程f(λ)=0。（2）如果a1，则有:(4.2-45)(4.2-46)由于λ≥0，而aλM－λ1≤0,如果aλ1－λM≥0，则有a≥λM/λ1，因此，当λM/λ1≤a1时，Lagrange乘数λ的取值范围由下式给出:因此，可得:(4.2-47)(4.2-48)3.QICLCMP波束形成算法

综上所述，QICLCMP波束形成算法由以下步骤实现。第一步:对数据协方差矩阵Rx进行特征分