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合同线性代数

篇一：线性代数中的合同关系、正定矩阵

什么是线性代数中的合同？惯性定律？

“合同”是矩阵之间的一种关系。两个n阶方阵A与B

叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.

“合同”这种关系，是一种“等价关系”。按照它可以对n

阶方阵的全体进行分类。对于n阶实对称矩阵而言，线性代

数中有两个结果。

①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并

且此时P也是实的。②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合

同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。但是

这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的

正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。

结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元

素全大于0.这个命题是否正确

不对，反例：12

21

只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量

X=(x_1,...x_n)都有XMX′0，就称M正定(Positive

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Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定

矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型

f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值

全是正数。

证明：若，则有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即：A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵

的充要条件是：A的特征值全部非负。

特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

行列式小结

一、行列式定义

行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数

字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列

成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列

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式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很

多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互

作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？

行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的（共有

n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号

的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对

于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定

义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式

等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依

据行列式的性质和展开法则。