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数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质

1.研究通项的性质

例题1.已知数列满足.

（1）求；

（2）证明：.

解：（1）.

（2）证明：由已知，故

，所以证得.

例题2.数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.

解：（Ⅰ）由可得，

两式相减得：，

又∴故是首项为1，公比为3的等比数列

∴

（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得

故可设，又，

由题意可得，解得

∵等差数列的各项为正，∴∴

∴

例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且

对任意的都成立，数列是等差数列.

⑴求数列与的通项公式；

⑵是否存在，使得，请说明理由.

n

点拨：（1）左边相当于是数列前项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.

（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.

解：（1）已知…）①

时，…）②

①－②得，，求得，

在①中令，可得得，

所以N*）.

由题意，，，所以，，

∴数列的公差为，

∴，

）.

（2），

当时，单调递增，且，

所以时，，

又，

所以，不存在，使得.

例题4.设各项均为正数的数列{a}和{b}满足：a、b、a成等差数列，b、a、b成

nnnnn+1nn+1n+1

等比数列，且a=1，b=2，a=3，求通项a，b

112nn

解：依题意得：

2b=a+a①

n+1n+1n+2

a2=bb②

n+1nn+1

∵a、b为正数，由②得，

nn

代入①并同除以得：，

∴为等差数列

∵b=2，a=3，，

12

∴，

∴当n≥2时，，

又a=1，当n=1时成立，∴

1

2.研究前n项和的性质

例题5.已知等比数列的前项和为，且.

（1）求、的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

解：（1）时，.而为等比数列，得，

又，得，从而.又.

（2），

），得，

.

例题6.数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足

，

（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.

解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，

∴，∴

由，得，∴数列的前项和的最大值为.

（2）由（1）当时，，当时，，

∴当时，

当时，

∴.

例题7.已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.

（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.

qq

解：（1）设等比数列的公比为（＞1），由

aqaq2aq3aqaq3aq2aqaq

++=28，+=2（+2），得：=2，=2或=32，=（舍）

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