专题1.3 空间向量的数量积运算-高中数学重难点题型精讲（人教A版选修1）（教师版）.pdf

专题1.3空间向量的数量积运算-重难点题型精讲

1．空间向量的夹角

→→

OAOB

(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的

夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.

π

特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.

2

2．空间向量的数量积

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

定义即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①a⊥b⇔a·b＝0

性质

22

②a·a＝a＝|a|

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

运算律

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

3．向量的投影

(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平

b

面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a

|b|

在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．

(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，

———→———→———→

B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量

a所在直线与平面β所成的角．

【题型1数量积的计算】

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入求解．

【例1】（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，

→→

则⋅=（）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【解题思路】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可．

【解答过程】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，

∴四面体ABCD为正四面体，

∵E，F分别为棱AB，CD的中点，

→→1→→→→

⋅=+−

∴（）•（）

2

1→→1→21→→1→→

=−+−

•••

2222

1111111

=×2×1×−×+××−×2×2×