高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(原卷版+解析).docxVIP

4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

思维导图

知识点总结

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))

(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad.

(2)弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

(3)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2

3.任意角的三角函数的定义

前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与半径为r的圆交于点P(x，y)

定义

正弦

比值eq\f(y,r)叫作α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)

余弦

比值eq\f(x,r)叫作α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)

正切

比值eq\f(y,x)(x≠0)叫作α的正切函数，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)

三角函数

sinα，cosα，tanα分别叫作α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数统称为α的三角函数.

[常用结论]

1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．

3．象限角

4．轴线角

典型例题分析

考向一象限角及终边相同的角

例1．已知角θ在第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)在()

A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限

C.第三象限 D.第四象限

答案C

感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.

2.确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法

先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置.

【方法技巧与总结】

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．

考向二弧度制及其应用

例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧长l.

(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.

感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

考向三等分角的象限问题

例3．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（???????）

A．第一、三象限 B．第一、二象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

【方法技巧与总结】

先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．

考向四弧长与面积公式

例4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．

【方法技巧与总结】

（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制）

（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法

考向五三角函数定义题

例5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（???????）

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