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第01讲函数的概念及其表示(精讲)
目录
TOC\o1-3\h\u第一部分:知识点必背 2
第二部分:高考真题回归 3
第三部分:高频考点一遍过 4
高频考点一:函数的概念 4
高频考点二:函数定义域 5
角度1:具体函数的定义域 5
角度2:抽象函数定义域 6
角度3:已知定义域求参数 6
高频考点三:函数解析式 7
角度1:凑配法求解析式(注意定义域) 7
角度2:换元法求解析式(换元必换范围) 8
角度3:待定系数法 8
角度4:方程组消去法 9
高频考点四:分段函数 10
角度1:分段函数求值 10
角度2:已知分段函数的值求参数 11
角度3:分段函数求值域(最值) 11
高频考点五:函数的值域 13
角度1:二次函数求值域 13
角度2:分式型函数求值域 13
角度3:根式型函数求值域 14
角度4:根据值域求参数 15
角度5:根据函数值域求定义域 15
第四部分:高考新题型 17
①开放性试题 17
②探究性试题 17
第五部分:数学思想方法 18
①函数与方程的思想 18
②数形结合思想 18
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第一部分:知识点必背
1、函数的概念
设、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么称为从集合到集合的一个函数,记作,.
其中:叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
2、同一(相等)函数
函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法(最常用)
图象法(解题助手)
列表法
就是把变量,之间的关系用一个关系式来表示,通过关系式可以由的值求出的值.
就是把,之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量,的值.
就是将变量,的取值列成表格,由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
(1)分式型函数:分母不等于零.
(2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且),,的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
(1)分离常数法:
将形如()的函数分离常数,变形过程为:
,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
(2)换元法:
如:函数,可以令,得到,函数
可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.
(3)基本不等式法和对勾函数
(4)单调性法
(5)求导法
第二部分:高考真题回归
1.(2022·北京·高考真题)函数的定义域是_________.
2.(2021·浙江·高考真题)已知,函数若,则___________.
3.(2022·浙江·高考真题)已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.
4.(2022·北京·高考真题)设函数若存在最小值,则a的一个取值为________;a的最大值为___________.
第三部分:高频考点一遍过
高频考点一:函数的概念
典型例题
例题1.(2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试)已知集合,下列对应关系中从到的函数为(????)
A. B.
C. D.
例题2.(2023秋·云南昆明·高一统考期末)已知集合,集合,下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(????)
A. B.
C. D.
练透核心考点
1.(2023·全国·高三专题练习)下列图象中,以为定义域,为值域的函数是(????)
A. B.
C. D.
2.(多选)(2023·高一课时练习)下列对应中是函数的是(????).
A.,其中,,
B.,其中,,
C.,其中y为不大于x的最大整数,,
D.,其中,,
高频考点二:函数定义域
角度1:具体函数的定义域
典型例题
例题1.(2023春·北京海淀·高一校考开学考试)函数的定义域(????)
A. B.
C. D.
例题2.(2023春·北京·高三校考阶段练习)函数的定义域为__________.
练透核心考点
1.(2023春·全国·高一校联考开学考试)函
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