高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第04讲指数与指数函数(讲义)(原卷版+解析).docxVIP

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

2022年甲卷第12题，5分

2020年新高考II卷第11题，5分

从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与二次函数、幂函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题.

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（????）

A． B． C． D．

【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（?????）

A．设则 B．若，则

C．若，则 D．

【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（????）

A． B． C． D．

【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲?乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．

【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（????）

A．B．C． D．

【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．

【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______

【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（????）

A．或 B． C． D．且

【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）

A． B．

C． D．

【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（????）

A．8 B．24 C．4 D．6

【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（????）

A．当，则这期间人口数呈下降趋势

B．当，则这期间人口数呈摆动变化

C．当时，的最小值为3

D．当时，的最小值为3

【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（????）

A．函数是增函数

B．曲线关于对称

C．函数的值域为

D．曲线有且仅有两条斜率为的切线

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

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