小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案).pdfVIP

小升初专练-数论问题-带余除法

【知识点归纳】

如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×

b+r．

当r=0时，我们称a能被b整除

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为

商）．

【常考题型】

例1：所有被4除余1的两位数的和为（）

A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229

分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大

两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组

成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷

4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．

解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，

除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，

那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），

所有除以4后余1的两位数的和为：

13+17+21+…+97

=（13+97）×22÷2

=110×11

=1210．

答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．

故选：C．

点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足

条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．

例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，

4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．

分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜

400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x

＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．

解：设页数为x，①320＜x＜400；

②270＜x＜360；

③由①②得：320＜x＜360，

满足上述条件的只有n=18．

320＜18×18=324＜360．

故答案为：324．

点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．

【解题思路】

对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除

法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，

且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则

称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称

欧几里得算法．

一．选择题

1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6

余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（）

A．216B．108C．314D．348

2．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（）

A．3B．6C．2D．1

3．所有被4除余1的两位数的和为（）

A．1200B．1208C．1210D．1224

E．1229

4．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为（）

A．9B．7