7.3.2+离散型随机变量的方差导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docxVIP

7.3.2离散型随机变量的方差

一、提出问题

问题从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示：

X

6

7

8

9

10

P

0.09

0.24

0.32

0.28

0.07

Y

6

7

8

9

10

P

0.07

0.22

0.38

0.30

0.03

如何评价这两名同学的射击水平？

二、新知探究

1.离散型随机变量的方差概念：一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：

…

…

…

…

则称

为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差.

期望：方差：标准差：

思考：方差为什么这样定义？

2.离散型随机变量的方差的深层理解

离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.

描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，①越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；②越小，的取值越集中在附近.

3.方差的计算方法：

(1)定义法

(2)期望法：

4.方差的性质：

期望的性质：

证明：.

三、典例解析

【典例1】已知随机变量的分布列为

1

2

3

4

0.2

0.3

0.4

0.1

求和.

【练习巩固1】随机变量的分布列如下表，则；.

0

1

2

【典例2】已知随机变量的分布列如表：

0

1

2

m

n

若，则．

【练习巩固】随机变量X的分布列如表所示，若，则.

X

0

1

P

a

b

【典例3】投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示：（左侧为A，右侧为B）

收益Y元

0

1

2

概率

0.3

0.4

0.3

收益X/元

0

2

概率

0.1

0.3

0.6

(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？

【练习巩固】甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为

Y

0

1

2

P

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

甲品牌的走时误差分布列乙品牌的走时误差分布列

X

0

1

P

0.1

0.8

0.1

试比较甲、乙两种品牌手表的性能.

【典例4】若随机变量X满足，其中为常数，求，.

【典例5】若随机变量X服从两点分布，求，.

【练习巩固】已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为．