高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)4.6正、余弦定理及其应用举例(原卷版+解析).docxVIP

4.6正、余弦定理及其应用举例

思维导图

知识点总结

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

余弦定理

正弦定理

公式

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

b2＝；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

eq\f(a,sinA)＝＝＝2R

常见变形

cosA＝；

cosB＝

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

a≤b

解的个数

一解

3.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

[常用结论]

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sinC；

(2)cos(A＋B)＝－cosC；

(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；

(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sinA

sinB?cosAcosB.

典型例题分析

考向一利用正、余弦定理解三角形

例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(2)，A＝30°，则B等于()

A.30° B.45°

C.30°或150° D.45°或135°

(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq\r(19)，AB＝2，则BC＝()

A.1 B.eq\r(2)

C.eq\r(5) D.3

(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosBcosC·(tanB＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC，则cosA的最小值是________.

感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).

2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.

考向二判断三角形的形状

例2(1)在△ABC中，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()

A.直角三角形 B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

(2)在△ABC中，eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.

感悟提升判断三角形形状的两种思路

(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.

考向三与三角形面积(周长)有关的计算

例3(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq\f(1,3).

(1)求△ABC的面积；

(2)若sinAsinC＝eq\f(\r(2),3)，求b.

感悟提升三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

考向四多边形中的解三角形问题

例4