高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题1.1集合的概念与运算(原卷版+解析).docxVIP

专题1.1集合的概念与运算

思维导图

知识点总结

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记法

N

N*或N＋

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A?B(或B?A).

(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集.

(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.

(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为?UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x?A}

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.

常用结论

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.

4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).

典型例题分析

考向一集合的基本概念

典例一

1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()

A.2 B.3 C.4 D.6

2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.

感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

考点二集合间的基本关系

典例二

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，则集合A，B，C的关系为()

A.B?A B.A＝B

C.C?B D.A?C

2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________.

感悟提升1.若B?A，应分B＝?和B≠?两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

考向三集合间的基本运算

典例3

1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()

A.? B.S C.T D.Z

2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，则A∩(?RB)＝()

A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}

C.? D.{x|0＜x＜2}

3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，则a的取值范围是()

A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)

C.(－∞，1) D.(－∞，1]

感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

考向四Venn图的应用

在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.

典例四

1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数