高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.1函数及其表示(原卷版+解析).docxVIP

2.1函数及其表示

思维导图

知识点总结

(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C?B.

(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有、和.

3.分段函数

若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.

典型例题分析

考向一函数的定义域

典例一

1.函数f(x)=3xx-

A.(2,+∞) B.(1,2)

C.(0,2) D.[1,2]

2.已知函数f(x)=33

A.(-12,0) B.(-12,0]

C.(13,+∞) D.(-∞,1

3.已知函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0

解题分析与总结

(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.

(2)求抽象函数的定义域

①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x))的定义域;

②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.

注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.

2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.

考向二求函数的解析式

典例二

1.已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,则f(x)=

2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为.

解题分析与总结

1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.

2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值

范围.

考向三分段函数及其应用

微考点1分段函数求值

已知f(x)=2x,x0,f

解题分析与总结

求分段函数的函数值的策略

(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.

(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.

微考点2分段函数与方程

已知函数f(x)=x2

A.-1或2 B.2或4

C.-2或4 D.-1或4

解题分析与总结

根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.

微考点3分段函数与不等式

函数f(x)=x+1,x=0,

解题分析与总结

求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.

微考点4分段函数的值域

设函数f(x)=1x

A.(-∞,1]

B.[2,+∞)

C.(-∞,1]∪[2,+∞)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

解题分析与总结

分段函数的值域是各段函数值域的并集.

基础题型训练

一、单选题

1．下列各组函数中，是相等函数的是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（????）

A．与 B．与

C．， D．，

3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）

A． B．

C． D．

4．函数的值域为（????）．

A． B． C． D．

5．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．下列各函数中，表示相等函数的是（????）

A．与

B．与

C．与

D．与(且)

二、多选题

7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（????）

A． B．

C． D．

8．下列函数中，表示同一个函数的是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

三、填空题

9．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.

10．值域：与的值____的的值的集合.

11．表示不超过的最大整数，如，，，若，则的值域为___________.

12．函数