高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.7函数模型及其应用(原卷版+解析).docxVIP

2.7函数模型及其应用

思维导图

知识点总结

知识点一一次函数模型

形如的函数为一次函数模型，其中.

知识点二二次函数模型

1．一般式：．

2．顶点式：．

3．两点式：．

知识点三幂函数模型

1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．

2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

知识点四几类已知函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数型函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

知识点五应用函数模型解决问题的基本过程

1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

3．求模——求解数学模型，得出数学模型；

4．还原——将数学结论还原为实际问题．

典型例题分析

考向一一次函数模型的应用实例

例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．

反思感悟一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．

考向二二次函数模型的应用实例

例2牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．

考向三幂函数与分段函数模型

例3(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．

(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．

①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？

②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？

③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？

反思感悟(1)处理幂函数模型的步骤

①阅读理解、认真审题．

②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．

③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．

④转化成具体问题，给出解答．

(2)应用分段函数时的三个注意点

①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．

②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

考向四指数型函数模型

例4目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．

反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)