高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题5.1平面向量的概念及其线性运算(原卷版+解析).docxVIP

5.1平面向量的概念及其线性运算

思维导图

知识点总结

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|.

(2)零向量：的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量.

(5)相等向量：长度且方向的向量.

(6)相反向量：长度且方向的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝

减法

求两个向量差的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa

(1)|λa|＝；

(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝；

λ(a＋b)＝

3.共线向量定理

设a为非零向量，如果有一个实数λ，使，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

[常用结论]

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).

2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

典型例题分析

考向一平面向量的有关概念

设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()

A.a＝－b B.a∥b

C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|

感悟提升平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

考向二向量的线性运算

角度1平面向量加、减运算的几何意义

例2(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))＝()

A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))

C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))

角度2向量的线性运算

例3在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()

A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b

C.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b

角度3利用向量的线性运算求参数

例4在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝________.

感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求