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试卷分配问题的优化模型
摘要
本文主要研究试卷的合理分配问题。试卷分配的合理性既是竞赛
规则的要求,也是竞赛评判的公平性的重要保证。因此,解决试卷分
配的合理性问题有很强的现实意义。本文所考察的考试涉及200余份
试卷和12位评委,数据规模大,人工求解分配方案计算量较大,难
以实现。为此,我们采用了计算机编程的方法解决问题。
对问题一,我们采取了下面的方法:
(1)利用计算机随机产生一系列的试卷分配方案,在此过程中,通
过机器判断,使产生的试卷分配方案满足R1、R2和D2的要
求。
(2)利用不均衡度D对(1)中的试卷分配方案进行限制,使产生
的试卷分配方案满足D1的要求。
(3)利用不均衡度Dd对(2)得到的方案进行筛选,使得输出的试
卷分配方案满足D3的要求。从而得出问题一的比较公平合理
的分配方案。
(4)用上述方法产生50个可行解,筛选出它们中两位或三位评委相
同的情况较少的解。
这样我们得到了问题一的解。
在问题一的基础上,我们通过讨论,采用了同一份试卷的四个评
委中,判高分和判低分的评委数最多相差1的限制条件,得到问题二
的解。
关键词:公平随机不均衡度D加权不均衡度Dd
一、问题背景
数模竞赛一般采取多位评委打分的方式确定名次,评委大都来自
各参赛高校。
竞赛规则规定:
R1.每份试卷由四位不同的评委评阅。
R2.每个评委只能评阅非本单位的试卷。
同时,为了保证最终阅卷结果的客观性与公正性,竞赛组委认为
一个理想的试卷分配方案应满足如下要求:
D1.各评委评阅的试卷数量应尽可能均衡。
D2.任意两份试卷不能由相同的四位评委评阅,并应尽量减少
有两位或三位评委相同的情况。
D3.同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。
我们需要根据上述要求设计合理的试卷分配方案,并就附录中的
数据实例给出具体的分配方案及该方案对D1~D3的满足情况。
在此基础上,根据以往评阅记录,统计得出各位评委的判分高低
倾向,例如附录中评委1、2、3有判高分倾向,评委4、5、6有判低
分倾向,如何利用此信息结合以上要求设计公平合理的试卷分配方案
是我们面临的又一问题。
二、符号说明
D——不均衡度
Dd——加权不均衡度
iN——第i个单位的试卷总数
p[i]——第i位评委(1≤i≤12)的实际阅卷量
iA(j)——第j个评委评阅的第i个单位的试卷的份数(1≤j≤12)
iB——i号单位的试卷按理想情况平均分给各位评委时,每位评
委得到的i号单位试卷数
三、问题分析
我们的目标是建立一个公平合理的试卷分配方案。所谓“公平合
理”是指满足竞赛规则规定R1、R2并尽量满足理想的试卷分配方案
的要求D1、D2、D3。其中R1是对评委评阅试卷“广泛性”的要求,
即一份试卷尽量由较多数量的评委评阅以避免仅由一位评委评阅所
引起的成绩的不公平性、主观性和偶然性;R2是为了避免评委对本
单位的试卷人为的抬高分数;D1是为了使每位评委都能够同等程度
的参与到试卷的评阅之中,避免少数评委对整体的评卷结果影响过
大;D2增加了评委组合的多样性;D3避免了同一单位的试卷仅由
少数的几位评委评阅,当这几位评委有判分不公正倾向时,该单位整
体将会受到不公正的待遇。
1、不均衡度D与要求D1
对于条件D1我们设置一个参数D,称为“不均衡度”。227份试
卷共需要227*4=928人次评阅,因此,每位评委在理想情况(试卷分
配均衡)下,每人评阅的试卷数是928/12=227/
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