备考2025年高考数学一轮复习第八章考点测试43.docxVIP

考点测试43离散型随机变量的分布列及数字特征

高考

概览

高考在本考点的常考题型为解答题，分值为12分，近两年难度有所增大

考点

研读

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性

2．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念

3．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题

一、基础小题

1．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝eq\f(λ,n（n＋1）)(n＝1，2，3)，其中λ是常数，则P(1≤X＜3)的值为()

A.eq\f(8,9) B.eq\f(2,3)

C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,9)

答案A

解析因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即eq\f(λ,2)＋eq\f(λ,6)＋eq\f(λ,12)＝1，解得λ＝eq\f(4,3)，所以P(1≤X＜3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).故选A.

2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(X)＝()

X

－2

0

1

P

a

eq\f(1,3)

b

A.eq\f(49,81) B.eq\f(8,9)

C.eq\f(23,27) D.eq\f(23,81)

答案B

解析因为E(X)＝eq\f(1,3)，且各概率之和为1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋0×\f(1,3)＋b＝\f(1,3)，,a＋\f(1,3)＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(5,9)，))所以D(X)＝eq\f(1,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9).故选B.

3．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为()

A．6 B．eq\f(39,5)

C．eq\f(41,5) D．9

答案B

解析记此人得奖金额为随机变量X，则X的可能取值为6，9，12，且P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，则E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝eq\f(39,5).故选B.

4．一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数X的期望为()

A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,5)

C．eq\f(5,4) D．eq\f(4,3)

答案A

解析由题意知，取到红球的个数X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，E(X)＝0×eq\f(5,14)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(3,28)＝eq\f(3,4).故选A.

5．已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入1个黑球．设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为X，则E(X)＝()

A.eq\f(40,27) B．2

C.eq\f(55,27) D.eq\f(65,27)

答案D

解析由题意知，X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,