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等腰三角形的存在性问题的几何解法

本文采取一种重要而基本的解题策略“抓不变量”，以两道例题

为引，重点阐释等腰三角形存在性问题的“几何解法”，与“代数方

法”相得益彰、相辅相成，构成了解等腰三角形存在性问题的两大重

要法宝，同学们掌握后势必不再畏惧这种题型，反而会喜欢“她”，

愿意碰到“她”！

摘要：通过对两道等腰三角形存在性问题的解法探究，让学生体

会在解题中抓不变量的重要性，积累基本的数学解题经验，提升学生

解题能力.“万变不离其宗”，在解题中，使学生体会到“变与不变”

的辩证统一关系，为学生解题提供一种重要的思考方式.

摘要：通过对两道等腰三角形存在性问题的解法探究，让学生体

会在解题中抓不变量的重要性，积累基本的数学解题经验，提升学生

解题能力.“万变不离其宗”，在解题中，使学生体会到“变与不变”

的辩证统一关系，为学生解题提供一种重要的思考方式.

关键字：等腰三角形；分类讨论；抓不变量；动静结合

在很多数学问题中，尤其是动态问题，“以不变应万变”，抓住

不变量是一种核心的数学思想方法.“万变不离其宗”，解题中，若是

能有效地抓住那些不变的要素，搞明白问题的“来龙去脉”，往往就

能够抓住要害，达到不可思议之效.本文拟从两道等腰三角形的存在性

问题为例，抛砖引玉，盼读者能够体会到这种“动中有静”、“动静

结合”的行之有效之法.

四、归纳小结

等腰三角形的存在性解题策略，一般都要分三种情况求解，如果

三条边长都好表示成代数式的话，可以抓住“边”分三类解方程即可，

这种方法偏代数化一些；如果三角形中有一个不变的角且其三角函数

好求，也可以抓住此“角”分三类求解，这种方法偏几何化一些.相对

而言，几何的方法会比代数的方法好计算些，但需要一定的思维量，

如例1中要借助“三线合一”求出相似比等；而代数的方法比几何的

方法易下手、好操作，但往往计算量会稍大些，甚至有的时候会出现

三次及三次方以上的高次方程，导致无法计算，从而只能“另辟蹊

径”.另外，在计算中，若能巧妙地抓住一些不变量，包括一些“不变

角”和“不变边”，借助等腰三角形中最重要的辅助线也是最重要的

结论“三线合一”，结合“比例法”“设元”或口算边长，往往可以

达到事半功倍的效果.