2025年高考数学一轮复习讲练测-第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）（解析版）.docx

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第01讲导数的概念及其意义、导数的运算

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：导数的概念和几何意义 4

知识点2：导数的运算 5

解题方法总结 6

题型一：导数的定义及变化率问题 6

题型二：导数的运算 9

题型三：在点P处的切线 11

题型四：过点P的切线 13

题型五：公切线问题 15

题型六：已知切线或切点求参数问题 19

题型七：切线的条数问题 23

题型八：利用导数的几何意义求最值问题 29

题型九：牛顿迭代法 38

题型十：切线平行、垂直、重合问题 42

题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 47

题型十二：切线斜率的取值范围问题 48

04真题练习·命题洞见 51

05课本典例·高考素材 53

06易错分析·答题模板 54

易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 54

答题模板：求曲线过点P的切线方程 54

考点要求

考题统计

考情分析

（1）导数的定义

（2）导数的运算

（3）导数的几何意义

2023年甲卷第8题，5分

2022年I卷第15题，5分

2021年甲卷第13题，5分

2021年I卷第7题，5分

高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．

复习目标：

（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．

（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．

（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．

知识点1：导数的概念和几何意义

1、概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

2、几何意义

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

3、物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

【诊断自测】设为R上的可导函数，且，则＝（????）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

【答案】B

【解析】因为，

所以.

故选：B．

知识点2：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

【诊断自测】求下列函数的导数：

(1)；

(2)．

【解析】（1）.

（2）

解题方法总结

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

3、高考常考的切线方程

（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.

（2）是的切线，是y=tanx的切线.

（3）是的切线，是的切线.

题型一：导数的定义及变化率问题

【典例1-1】若函数在区间内可导，且，则的值为（????）

A． B．

C． D．0

【答案】B

【解析】由题意知，.

故选：B

【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，

则，得.

因为，

所以当时，，

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.

故选：C

【方法技巧】

利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．

【变式1-1】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】，故A错；

，故B对；

，由导数的定义知C对；

，故D对；

故选：BCD

【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企