专题1.5 空间向量基本定理-高中数学重难点题型精讲（人教A版选修1）（教师版）.pdf

专题1.5空间向量基本定理-重难点题型精讲

1．空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p

＝xa＋yb＋zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，

j，k}表示．

(2)向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像

这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

3．证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

使p＝xa＋yb.

4．求夹角、证明垂直问题

a·b

(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝.

|a||b|

(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.

5．求距离(长度)问题

→→→

||||

a＝a·a(AB＝AB·AB)．

【题型1空间向量基底的判断】

【方法点拨】

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个

基底．

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条

棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

→

→→

【例1】（2021秋•揭西县期末）若{构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的

是（）

→→→→→→→→→

→→→→→→→→→→→→

+−

A．，，B．，，C．，，D．，，

【解题思路】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．

→→→

→→

【解答过程】解：对于A，若向量+−面，

→→→→

→→→+=1

则+=−+=(+−，即，解得λ＝﹣1，μ＝2，

−=1

→→→

→→

故向量+−面，故A错误，

→→

→→→

对于B，若向量面，

→→

→→→

则+，λ，μ无解，

→→

→→→

故向量共面，故B正确，

→→

→→→

对于C，若向量面，

→→→

→→