专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-高中数学重难点题型精讲（人教A版选修1）（教师版）.pdf

专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲

1．空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系及相关概念

①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的

方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就

建立了一个空间直角坐标系O-xyz.

②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称

为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

(2)右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，

则称这个坐标系为右手直角坐标系．

2．空间一点的坐标

→

在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位

→→

置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单位

→

正交基底{i，j，k}下与向量OA对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作

A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

3．空间向量的坐标

→

OA

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，

z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，

z)．

4．空间向量的坐标运算

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，有

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向量运算向量表示坐标表示

加法a＋ba＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)

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减法a－ba－b＝(a－b，a－b，a－b)

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数乘λaλa＝(λa，λa，λa)，λ∈R

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数量积a·ba·b＝ab＋ab＋ab

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5．空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有

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当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；

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a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0；