《高等数学》2第二章 极限 教学课件.pptVIP

高等数学（第三版）

目第一章函数

第二章极限

录C

第三章连续函数

O

N

T第四章导数与微分

E

N第五章微分学基本定理及其应用

T

S第六章不定积分

第七章定积分

第八章多元函数

第二章

极限

极限思想

极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数

学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未

知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无

限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这

结果.

这种思想，早在三国时期的刘徽，就用倍

增的圆内接正多边形去逼近圆，以至于当圆内接

多边形的边数无限倍增时，圆内接正多边形的面

积就向某个定数（即圆的面积）不断接近，为此，

圆内接正多边形的面积的极限就是圆的面积。

用刘徽之言，即：“割之弥细，所失弥少

，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无

所失矣！”

正六边形的面积

A1

正十二边形的面积

A2

R

n1

正62形的面积An

A1,A2,A3,An,S

说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正

3072边形得到圆周率π的近似值为3.1416

截杖问题：

“一尺之棰，日截其半，万世不竭”

1

第一天截取它的一半为X/尺;

12

1

第二天再取第一天剩下的一半为X/尺;

222



1

第n天再取第n-1天剩下的一半为X;

n2n

将每天剩余的木棒长度写出来就是：

1n

1，1，1，，1

2,Xnn0

22232n2

§2.1数列的极限

无穷数列的概念

按一定次序排列的无穷多个数

x1,x2,,x3,,xn,

称为无穷数列，简称数列。可简记为

{xn}

其中每个数称为数列的项，称为数列

xn{xn}

的通项（一般项）。

例如

1111

,,,,,;

2482n

y

0.

1111.

（1）n.

,,,,n,;.

2482..

....

O.

0.x

.

引例.设有半径为r的圆,用其内接正n边形

的面积逼近圆面积S.

如