《高等数学》7第七章 定积分 教学课件.pptVIP

高等数学（第三版）

第一章函数

第二章极限

第三章连续函数

目第四章导数与微分

第五章微分学基本定理及其应用

第六章不定积分

录第七章定积分

第八章多元函数

定积分

第七章

§7.1定积分的概念

一、定积分问题的两个实例

例1求曲边梯形的面积

曲边梯形：它有三条边是直线段，

其中两条边互相平行，第三条边与前两条垂直叫做底边，

第四条边是一条曲线弧叫做曲边.y

yf(x)C

求由曲线yf(x)及直线

D

xa,xb,y0所围成的

曲边梯形的面积.

若f(x)常数,曲边梯形是一个oabx

矩形，面积底高

而现在yf(x)是一条曲线，曲线上的高度是变化的，

所以，不能用初等数学的方法解决.

先用矩形面积近似取代曲边梯形面积

yy

yf(x)yf(x)



oax1x2x3bxoabx

（四个小矩形）（九个小矩形）

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．

因此,我们用极限求曲边梯形面积.

具体步骤如下：

第一步分割

在区间[a,b]内任意插入n-1个分点，

ax0x1x2Lxn-1xnb,y

把区间[a,b]分成n个小

区间，

[xi-1,xi](i1,2,L,n)

xxxx

长度为oa1i-1in-1bx

xixi-xi-1;i

第二步作近似

在每个小区间

[xi-1,xi]y

上任取一点，

i(i1,2,L,n)

以[x-,x]为底，f()为高

i1ii

的小矩形面积为f()xxxxx

iioa1i-1in-1x

ib

用矩形面积面积，

f(i)xi近似代替第i个小曲边梯形Ai

即

Aif(i)xi

第三步求和

n



将n个小曲边梯形面积A的近似值求和f(i)xi

ii1

得曲边梯形面积A的近似值为y

n

Af(i)xi

i1

第四步取极限

xxxx

记oa1i-1in-1x

max{x1,x2,Lxn},ib