新高考数学二轮复习培优专题20 函数的基本性质综合问题 多选题（解析版）.docVIP

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专题20函数的基本性质综合问题多选题

1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在SKIPIF10上的函数SKIPIF10满足SKIPIF10，且SKIPIF10为偶函数，则下列说法一定正确的是（????）

A．函数SKIPIF10的周期为2 B．函数SKIPIF10的图象关于SKIPIF10对称

C．函数SKIPIF10为偶函数 D．函数SKIPIF10的图象关于SKIPIF10对称

【答案】BC

【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断CD作答.

【详解】依题意，SKIPIF10上的函数SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10，函数SKIPIF10的周期为4，A错误；

因为函数SKIPIF10是偶函数，则SKIPIF10，函数SKIPIF10的图象关于SKIPIF10对称，

且SKIPIF10，即SKIPIF10，函数SKIPIF10图象关于SKIPIF10对称，B正确；

由SKIPIF10得SKIPIF10，则函数SKIPIF10为偶函数，C正确；

由SKIPIF10得SKIPIF10，由SKIPIF10得SKIPIF10，

因此SKIPIF10，函数SKIPIF10的图象关于SKIPIF10对称，D错误.

故选：BC

2．（2023·广东茂名·统考一模）已知函数SKIPIF10对SKIPIF10，都有SKIPIF10，SKIPIF10为奇函数，且SKIPIF10时，SKIPIF10，下列结论正确的是（????）

A．函数SKIPIF10的图像关于点SKIPIF10中心对称

B．SKIPIF10是周期为2的函数

C．SKIPIF10

D．SKIPIF10

【答案】ACD

【分析】根据SKIPIF10为奇函数得SKIPIF10,推出SKIPIF10，判断A；结合SKIPIF10，推出SKIPIF10，判断B；采用赋值法求得SKIPIF10，判断C;利用函数的周期性结合题设判断D.

【详解】由题意SKIPIF10为奇函数得SKIPIF10，即SKIPIF10，

故SKIPIF10的图像关于SKIPIF10中心对称，故A正确；

由SKIPIF10，SKIPIF10得SKIPIF10，

所以SKIPIF10，即SKIPIF10是周期为4的函数，故B错误；

由SKIPIF10，令SKIPIF10，则SKIPIF10，

故SKIPIF10，故C正确；

SKIPIF10时，SKIPIF10，

∵SKIPIF10的周期为4，∴SKIPIF10