高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)6.3等比数列(原卷版+解析).docxVIP

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6.3等比数列

思维导图

知识点总结

1.等比数列的有关概念

定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列

通项公式

设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1qn-1.推广:an=amqn-m(m,n∈N*)

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab

2.等比数列的前n项和公式

Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1,q=1,,\f(a1?1-qn?,1-q)=\f(a1-anq,1-q),q≠1.))

典型例题分析

考向一等比数列基本量的运算

1.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()

A.14B.12C.6 D.3

解析:选D设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a2+a3=168,,a2-a5=42,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1-q3?,1-q)=168,,a1q?1-q3?=42,))

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=96,,q=\f(1,2),))所以a6=a1q5=3,故选D.

2.(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2a4的值为()

A.4B.5C.6 D.7

解析:选C根据题意,“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列,设首项为a1,前n项和为Sn.于是S7=eq\f(a1?1-27?,1-2)=1016?a1=8,则a4=8×23=26?log2a4=log226=6.故选C.

3.(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=eq\f(7,2)a2,则S4=______.

解析:设等比数列{an}的公比为q,由S3=eq\f(7,2)a2得,a1+a2+a3=eq\f(7,2)a2,即1+q2=eq\f(5,2)q,解得q=2或q=eq\f(1,2),∵{an}是递增数列,∴q=2,∴S4=eq\f(1-24,1-2)=24-1=15.

答案:15

方法总结

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=eq\f(a1?1-qn?,1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).

考向二等比数列的判定或证明

[典例]已知数列{an}满足a1=eq\f(1,2),a2=1,an+2+4an=5an+1(n∈N*).

(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

[解](1)证明:∵an+2+4an=5an+1,n∈N*,

∴an+2-an+1=4(an+1-an),n∈N*,

∵a1=eq\f(1,2),a2=1,∴a2-a1=eq\f(1,2),

∴数列{an+1-an}是以eq\f(1,2)为首项,4为公比的等比数列.

(2)由(1)知,an+1-an=eq\f(1,2)×4n-1=22n-3,

当n≥2时,

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=22n-5+22n-7+22n-9+…+2-1+2-1

=eq\f(1,2)+eq\f(\f(1,2)?1-4n-1?,1-4)=eq\f(1,3)(22n-3+1)

当n=1时,a1=eq\f(1,3)(2-1+1)=eq\f(1,2)满足上式.

所以,an=eq\f(1,3)(22n-3+1)(n∈N*).

[方法技巧]等比数列的判定方法

定义法

若eq\f(an+1,an)=q(q为非零常数,n∈N*)或eq\f(an,an-1)=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列

中项公式法

若数列{an}中,an≠0且aeq\o\al(

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