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复变函数中解析函数的理论分析及应用

【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种

方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数

0前言

复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函

数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论

和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的

必要性。

1解析函数的概念

如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，

则称f（z）在z0解析。

如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。

注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而

D是开区域。

2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区

域内解析。

3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在

z0不一定解析。但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。

4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合

必为开集。

2函数解析的判定

2.1根据解析函数的定义判定

要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数

在该点及其邻域内是否可导。

例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定

义知f（z）在整个复平面上解析。

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2.2根据初等函数的解析性判定

若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定

1）指数函数ez在整个复平面上解析；

2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解

析；

3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，

幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原

点和负实轴的复平面上解析。

4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义

域内解析

5）shz，chz在整个复平面上解析。

2.3根据定理判定

定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分必要条件

是：u（x，y），v（x，y）在D内可微，并且在区域D上满足柯西—黎曼方程：

■=■，■=-■

定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分条件是：

ux，uy，vx，vy在D内连续，并且u（x，y），v（x，y）在区域D上满足柯西

—黎曼方程：

■=■，■=-■

例：讨论函数f（z）=2x（1-y）+i（x■-y■+2y）的解析性。

解：因为u=2x（1-y），v=i（x■-y■+2y）