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2.4指数与指数函数
思维导图
知识点总结
知识点一无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a0,α为无理数)是一个确定的.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
知识点二实数指数幂的运算性质
1.aras=ar+s(a0,r,s∈R).
2.(ar)s=ars(a0,r,s∈R).
3.(ab)r=arbr(a0,b0,r∈R).
知识点三分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定:=eq\r(n,am)(a0,m,n∈N*,且n1)
负分数指数幂
规定:=eq\f(1,\r(n,am))(a0,m,n∈N*,且n1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
知识点四有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)aras=ar+s(a0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).
知识点四指数函数的定义
一般地,函数(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
思考为什么底数应满足a0且a≠1?
答案①当a≤0时,ax可能无意义;②当a0时,x可以取任何实数;③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a0,且a≠1.
知识点五两类指数模型
1.y=kax(k0),当时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k0),当时为指数衰减型函数模型.
知识点六指数函数的图象和性质
指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象和性质如下表:
a1
0a1
图象
定义域
R
值域
性质
过定点
过定点,即x=0时,y=
函数值的变化
当x0时,;
当x0时,
当x0时,;
当x0时,
单调性
在R上是
在R上是
典型例题分析
考向一运用指数幂运算公式化简求值
例1计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)
(2)
(3)
反思感悟一般地,进行指数幂运算时,可将系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.
考向二分数指数幂运算的综合应用
例2(1)已知am=4,an=3,求eq\r(am-2n)的值;
(2)已知=3,求下列各式的值.
①a+a-1;②a2+a-2;③
反思感悟条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件,通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),寻找已知式和待求式的关系,可考虑使用整体代换法.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
考向三指数函数的图象及应用
例1(1)函数y=ax-eq\f(1,a)(a0,且a≠1)的图象可能是()
(2)函数f(x)=1+ax-2(a0,且a≠1)恒过定点________.
(3)已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x+1+2的图象?并画出相应图象.
反思感悟处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
考向四比较大小
例4(1)比较下列各题中两个值的大小.
①1.7-2.5,1.7-3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.
(2)设则a,b,c的大小关系为________.(用“”连接)
反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法
基础题型训练
一、单选题
1.化简的结果为(????)
A. B.
C. D.
2.函数,则方程的解集是(????)
A. B. C. D.
3.已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为
A.t≤–1 B.t–1
C.t≤–3 D.t≥–3
4.已知,,,则
A. B.
C. D.
5.已知函数,则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
6.设函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
二、多选题
7.已知函数,则下列叙述正确的是(????)
A.当时,函数在区间上是增函数
B.当时,函数在区间上是减函数
C.若函数有最大值2,则
D.若函数在区间上是增函数,则的取值范围是
8.已知函数,则(???)
A.为偶函数 B.是增函数
C.不是周期函数 D.的
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