高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.5对数与对数函数(原卷版+解析).docxVIP

2.5对数与对数函数

思维导图

知识点总结

知识点一对数运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：

(1)loga(M·N)＝；

(2)logaeq\f(M,N)＝；

(3)logaMn＝(n∈R)．

知识点二换底公式

1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．

2．对数换底公式的重要推论：

(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N0，且N≠1；a0，且a≠1)；

(2)＝eq\f(m,n)logab(a0，且a≠1，b0)；

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a0，b0，c0，d0，且a≠1，b≠1，c≠1)．

知识点三对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．

知识点对数函数的图象和性质

对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：

y＝logax(a0，且a≠1)

底数

a1

0a1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

共点性

图象过定点，即x＝1时，y＝0

函数值特点

x∈(0,1)时，y∈；

x∈[1，＋∞)时，y∈

x∈(0,1)时，y∈；

x∈[1，＋∞)时，y∈

对称性

函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称

典型例题分析

考向一对数运算性质的应用

例1计算下列各式：

(1)log5eq\r(3,625)；(2)log2(32×42)；

(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5eq\f(9,5).

反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则

对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

考向二对数换底公式的应用

例2(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.

(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

反思感悟利用换底公式化简与求值的思路

考向三对数函数的概念及应用

例3(1)下列给出的函数：

①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a0，且a≠1)；③

④y＝log3eq\f(x,2)；⑤y＝logxeq\r(3)(x0，且x≠1)；

⑥其中是对数函数的为()

A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥

(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.

反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)对数式系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

考向四对数函数的图象问题

例4(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的()

反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．

考向五反函数

例5函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．

反思感悟互为反函数的常用结论

(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．

(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．

(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

考向六解对数不等式

例6解下列关于x的不等式：

(1)

(2)loga(2x－5)loga(x－1)．

反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况进行讨论．

(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．

(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．

基础题型训练

一、单选题

1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地