高中数学 同步教学 专题突破四.pptxVIP

专题突破四数列求和第二章数列

学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法.

NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测

1自主学习PARTONE

知识点一分组分解求和法

总结分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合,化归为等差数列和等比数列求和.

知识点二奇偶并项求和法思考求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.答案12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.

总结奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难,但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时,往往需要讨论.

知识点三裂项相消求和法

总结如果数列的项能裂成前后抵消的两项,可用裂项相消求和,此法一般先研究通项的裂法,然后仿照裂开每一项.裂项相消求和常用公式：

知识点四错位相减求和法思考记bn＝n·2n,求数列{bn}的前n项和Sn.答案∵Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n, ①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1, ②①－②,得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1,n∈N＋.

总结错位相减法主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.利用“错位相减法”时,先写出Sn与qSn的表达式,再将两式对齐作差,正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1).

1.并项求和一定是相邻两项结合.()2.裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××

2题型探究PARTTWO

题型一分组分解求和

解当x≠±1时,

当x＝±1时,Sn＝4n.

反思感悟某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.

跟踪训练1已知正项等比数列{an}中,a1＋a2＝6,a3＋a4＝24.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公比为q(q0),∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.

(2)数列{bn}满足bn＝log2an,求数列{an＋bn}的前n项和.解bn＝log22n＝n,设{an＋bn}的前n项和为Sn,则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)

题型二裂项相消求和

以下同例2解法.引申探究

反思感悟求和前一般先对数列的通项公式变形,如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式,常采用裂项求和法.

跟踪训练2求和：

题型三奇偶并项求和例3求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解当n为奇数时,Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)当n为偶数时,∴Sn＝(－1)nn(n∈N＋).

反思感悟通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法,分项数为奇数和偶数分别进行求和.

跟踪训练3已知数列－1,4,－7,10,…,(－1)n·(3n－2),…,求其前n项和Sn.

解当n为偶数时,令n＝2k(k∈N＋),Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]当n为奇数时,令n＝2k－1(k∈N＋),∴Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－(6k－2)

题型四错位相减求和例4(2018·佛山检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an＝3Sn－2(n∈N＋).(1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时,a1＝3S1－2＝3a1－2,解得a1＝1.当n≥2时,an＝3Sn－2,an－1＝3Sn－1－2,

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

两式相减得

反思感悟用错位相减要“能识别,按步走,慎化简”.

跟踪训练4已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1,在等差数列{bn}中,bn＞0,且b1＋b2＋b3＝15,又a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3成