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函数极限与连续知识点总结大一

函数极限与连续知识点总结

函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来

说，掌握这些知识点是非常关键的。在本文中，我将对函数极限

和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。

一、函数极限

1.定义：

函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变

量的值也趋近于一个确定的值。数学上可以表示为lim(f(x))=L，

其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。

2.基本性质：

-极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应

的极限值唯一。

-有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间

内是有界的。

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-保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或

小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）

该特定值。

3.常用的函数极限：

-常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。

-多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有

关。

-幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。

-三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用

三角函数的性质推导得出。

二、连续函数

1.定义：

连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲

线，即没有间断点。数学上可以表示为f(x)在[a,b]上连续。

2.基本性质：

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-连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

-连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。

-连续函数的复合函数仍然是连续函数。

-定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。

3.常见连续函数：

-多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。

-正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都

是连续函数。

三、注意事项

1.极限的计算要点：

-直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直

接将自变量的值代入函数中计算极限值。

-四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、

除操作，可以利用四则运算法则进行简化。

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-夹逼定理：当函数夹在两个已知的函数之间时，可以利用夹

逼定理求解函数的极限。

2.连续函数的判定：

-第一类间断点：函数在该点处的极限存在，但函数在该点的

函数值与极限值不相等。

-第二类间断点：函数在该点处的极限不存在。

3.连续函数的特性：

-介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)和

f(b)异号，那么存在至少一个c∈(a,b)，使得f(c)=0。

-零点定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)和

f(b)异号，那么函数f(x)在[a,b]上至少有一个零点。

综上所述，函数极限和连续是微积分中重要的基础知识点。通

过理解和掌握函数极限和连续的定义、性质和计算方法，我们能

够更好地应用它们解决实际问题。希望本文能够对大