中考数学培优-易错-难题(含解析)之一元二次方程含详细答案.docVIP

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【答案】（1）5；（2）180

【解析】

【分析】

（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．

【详解】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：

x+1+（x+1）x＝36，

解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得：5×36＝180（个），

答：第三轮将又有180人被传染．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

2．已知关于x的一元二次方程（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】(1)见解析；

(2)即m的值为0，方程的另一个根为0.

【解析】

【分析】

（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.

【详解】

(1)证明：

△=(m+2)2?4×1?m=m2+4，

∵无论m为何值时m2≥0，

∴m2+4≥4＞0，

即△＞0，

所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设方程的另一个根为t，

根据题意得2+t=,2t=m，

解得t=0，

所以m=0，

即m的值为0，方程的另一个根为0.

【点睛】

本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

3．某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?

【答案】当时，活动区的面积达到

【解析】

【分析】

根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.

【详解】

解:设绿化区宽为y，则由题意得

.

即

列方程:

解得(舍)，.

∴当时，活动区的面积达到

【点睛】

本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．

【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.

试题解析：（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；

（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，

∵x12x22+4x1+4x2=1，

∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，

∵a≤3，

∴a=﹣1．

5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．

（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

【解析】

【分析】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.

【详解】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，

根据题意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x1=7，x2=9，

∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，

根据题意得：y(36﹣2y)=170，

整理得：y2﹣18y+85=0．

∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，

∴该方程无解，