高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类(原卷版+解析).docxVIP

考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类

考点一平面的概念及基本性质

考点二证明“点共面”、“线共面”

考点三证明“点共线”及“线共点”

考点四平面基本性质的应用

考点五判断两条直线的位置关系

考点六等角定理

考点七异面直线所成的角

考点八空间直线与平面位置关系判断

考点九平面与平面位置关系的判断

1.平面的几个特点

平面是平的；

平面是没有厚度的；

(3)平面是无限延展而没有边界的

2.三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．

提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

3.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言

符号语言

图形语言

A在l上

A∈l

A在l外

Al

A在α内

A∈α

A在α外

Aα

l与m平行

l?//?m

l，m相交于A

l∩m＝A

l与m异面

l在α内

l?α

l与α平行

l?//?α

l，α相交于A

l∩α＝A

l在α外

lα

α，β相交于l

α∩β＝l

α与β平行

α?//?β

4.平面的基本性质

(1)基本性质

基本

事实

文字语言

图形语言

符号语言

作用

基本

事实

1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α

确定平面；判定点线共面

基本

事实

2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

确定直线在平面内；判定点在平面内

基本

事实

3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

判定两平面相交；判定点在直线上

(2)基本事实1与2的推论

推论

文字语言

图形语言

符号语言

作用

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，l?α

（1）判定若干条直线共面的依据

（2）判定若干平面重合的依据

（3）判定几何图形是平面图形的依据

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

a∩b＝P?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

a∥b?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

5.证明点、线共面、点共线、线共点问题的常用方法

证明点、线共面问题的常用方法

(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；

(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．

要证明点共线问题

(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上

(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

证明线共点问题的方法

证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．

6.证明三点共线的方法

(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．

7.判断四点共线的方法有：

（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；

（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；

（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.

8.证明三线共点的步骤

(1)首先说明两条直线共面且交于一点；

(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；

(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．

9.证明四点共面的基本思路：

一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；

10.空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)空间中直线与直线的位置关系

位置关系

图形

符号

共面情况

公共点个数

共面

直线

相交直线

在同一个平面内

1

平行直线

a∥b

在同一个平面内

0

异面直线

不同在任何一个平面内

0

(2)空间中直线与平面的位置关系

位置

关系

直线在

平面内

直线与

平面相交

直线与

平面平行

公共点个数

无数个

1

0

图形表示

符号

∥

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.

(3)空间中平面与平面的位置关