2024年中考数学真题分类汇编（全国通用）专题35 几何综合压轴题（40题）（解析版） .pdfVIP

专题35几何综合压轴题（40题）

一、解答题

1.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）已知履8C是等腰角形，AB^AC,AMANABAC,/MAN

2

在ZBAC的内部，点M、N在3。上，点M在点N的左侧，探究线段跛、NC、7W之间的数量关系.

由ABAC=90°,AB=AC可知，将4ACN绕点力顺时针旋转90°,得到^ABP,则CN=BP且ZPBM=90°,

连接W,易证△AMP^AAMN,可得MP=MN,在中，BM2+BP2^MP2^则有

BM2+NC2=MN2.

（2）当ZBAC=60°时，如图②：当ZBAC=120°时，如图③，分别写出线段跛、NC、7W之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明.

【答案】图②的结论是：BM2+NC2+BMNC^MN2;图③的结论是：bm2+nc2-bmnc^mn2;证

明见解析

【分析】本题主要考查等边角形的性质，全等角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一

半，勾股定理等知识，选②，以点3为顶点在aABC外作Z0BK=60。,在欧上截取BQ=CN,连接

04、QM,过点Q作QH1BC,垂足为H,构造全等角形，得出AN=AQ,ZCAN=ZQAB,再证明

△AQM,得到MN=QM在RtAgTW中由勾股定理得QH2+HM2=QM2,即1

BM+^BQ^=QM2,整理可得结论；选③方法同②

【详解】解：图②的结论是：bm2+nc2+bm^nc=mn2

证明：・：4B=4C,ZB4C=60。,

:.履8C是等边角形，

:.ZABC^ZACB^60°f

以点方为顶点在aABC外作/0BK=6。,在敬上截取BQ=CN,连接04、QM,过点Q作QH±BCf

垂足为H,

AB=AC,ZC=Z-ABQ,CN=BQ

:./\ACN^/\ABQ

:.AN=AQ,/CAN=ZQAB

又/CAN+ABAM=30°

.\ZBAM+ZQAB=30°

即ZQAM=AMAN

又W=W,

:.AAQM^AANM,

；・MN=QM；

・.・AABQ=60°,ZABC=60°,

.・.ZQBH=60。,

:.ZBQH=30。,

••BHqBQ,QH弋BQ

:.HM=BM*BH=BM,

在RtAQHM中，可得：QH2+HM2=QM2

艮|3马BQ+{bM+^Bq\=QM2

整理得bm2+bq2+bmbq=qm2

+NC2+BM.NC=MN2

图③的结论是：BM2+NC2-BM^NC^MN2

证明：以点3为顶点在aABC外作ZABK=30。,在欣上截取BQ=CN，连接04、伽，过点。作QH±BCf

垂足为H,

2

•.・AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ

B—C

:.AACN^AABQ

AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又\-ZCAN+ZBAM=60o

:.ZBAM+ZQAB=60°

即ZQAM=AMAN

又・.・AM=AM,

:.AAQM^AANM,

:.MN=QM

在RIaBQH中，ZQBH=60°,ZBQH=30。

^bh^-bq,qh=^-bq

HM=BM—BH=BM—、BQ,

在RtAQHM中,可得：QH2+HM2=QM2

整理得BM2+BQ2—BMBQ