北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评.ppt

北航工科数分第一学期历年期中试题讲评

说明本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。

目录一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用*七.泰勒公式

结构试卷根本结构 第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。每题5分。 第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。主要为证明题。

一.数列极限的计算 很少直接考到。即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。 启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握根本类型即可。

求数列极限的主要方法 1.利用初等方法〔有理化、恒等变形〕 2.利用重要极限 3.利用单调有界定理，两边取极限 4.利用夹逼定理 5.利用Stolz定理 6.转化为函数极限〔Heine定理〕

例1：〔2011年〕一1注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算

例2：〔2013年〕一1

二.数列极限的证明与应用 主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理 单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。

例1：〔2009年〕一1例2：〔2009年〕一3例3：〔2009年〕四1.表达、证明定理类

例4：〔2010年〕二2.单调有界定理类应用均值不等式证有界性。利用有界性证明单调性。完全相似题目：〔2012年〕二

例5：〔2011年〕三2.单调有界定理类例6：〔2009年〕二重点讲解

例7：〔2010年〕三3.柯西收敛定理类

例8：〔2012年〕三3.柯西收敛定理类完全相似题目：〔2011年〕四仅把分母中的cos改为sin

4.综合类例9：〔2013年〕三

4.综合类例10：〔2013年〕二重点讲解

三.函数极限的计算 通过等价无穷小、洛必达法那么、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。 通常方法不唯一，难度不大。

求函数极限的主要方法 1.利用等价无穷小 2.利用洛必达法那么 3.1的无穷次方类题型，化为(u-1)v 4.化为指数形式〔尤其对幂指函数〕 5.利用泰勒公式 6.利用导数定义 ……

例1：〔2009年〕三1、2、3通分后洛必达法那么1的无穷次方由等价无穷小知其为3/2阶

例2：〔2010年〕一1、2分子有理化、等价无穷小可由泰勒公式进行预判；直接有理化亦可

例3：〔2011年〕一3

例4：〔2012年〕一1、2重点讲解连续两次有理化

例5：〔2013年〕一2做法很多：1的无穷次方、化为指数、等价无穷小、洛必达法那么

四.函数极限的证明与应用 主要考察一致连续。 综合性并不很强〔综合性强的都与导数结合了〕，主要熟练掌握根本的定义及证明/否认一致连续的方法即可

1.连续与间断例1：〔2011年〕一7?多项式与指数的阶的比较、倒代换思想

2.一致连续例2：〔2009年〕七根本的判断不一致连续的方法

2.一致连续例3：〔2010年〕七重点讲解例4：〔2012年〕七????重点讲解

3.连续函数的性质例5：〔2009年〕八1介值定理、极限定义、极限的有界性

五.导数的计算 均为容易题。 几乎只考察三类：幂指函数求导〔对数求导法〕、参数方程求导〔包括求二阶导〕、求函数的高阶导数〔莱布尼茨公式、数学归纳法〕。

〔2009年〕三4、5〔2010年〕一3、4、5〔2011年〕一2、5〔2012年〕一3、4、5〔2013年〕一3、4、6求高阶导幂指函数求导参数方程求导初等函数求导参数方程求高阶导4次4次3次1次1次

例1：〔2011年〕二2数学归纳法应用于求高阶导数

六.导数的证明与应用 最重点的内容。难度最高的内容。可导性单调性（不等式、实根）凹凸性最值中值定理综合题3次4次5次4次5次2次

1.可导性例1：〔2009年〕五重点讲解

1.可导性例2：〔2010年〕一8参加作业习题3.3:7

1.可导性例3：〔2013年〕一7

2.单调性例4：〔2009年〕六2例6：〔2011年〕二1例5：〔2010年〕四 利用微分学证明不等式有许多方法〔中值定理、Jensen不等式、Taylor公式、单调性等〕，考试中出现的全为只利用一阶单调性的基此题。

2.单调性例7：〔2013年〕一8

3.凹凸性〔2009年〕六3〔2010年〕一7〔2011年〕一4〔2012年〕一7〔2013年〕四基此题型：判断一个给定函数的凹凸性及拐点判断函数arctanx的凹凸性及一致连续性。在判断一致连续性时用到了中值定理。

4.最值〔2009年〕六4〔2011