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高考数学应试技巧之变分法与最小值问题求

解

高考数学考试中，变分法与最小值问题的求解常常是考题中的

难点，给考生带来很大的挑战。因此，在复习备考中，熟练掌握

变分法与最小值问题的求解方法，是必不可少的。下面本文将对

这一问题进行详细的探讨和解答。

一、什么是变分法？

变分法是一种求解极值问题的数学方法，也叫做“变分原理”。

变分法是应用函数测度、变分和极值的观念来研究问题的一种方

法。它又是一种微积分方法，因此需要对微积分有一定的了解和

掌握。

二、什么是最小值问题？

最小值问题是指在一定条件限制下，求出使某个函数取最小值

的自变量，或者在某一有限集合中，找出函数最小值的问题。常

常出现在函数极值求解和优化问题中。

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三、如何应用变分法解决最小值问题？

以一般的定积分和变分法结合解决最小值问题为例。

对于任意给定的函数f(x)，若函数F(x)满足$$

$$

其中λ为一常数，g(x)是定义在[a,b]上的已知连续函数，则函

数F(x)的极值转化为了求解函数f(x)+λg(x)的极值问题。

通过对F(x)进行两次变分得到变分公式$$

$$

其中F^(4)(x)为F(x)的四阶导数，即$$

F^{(4)}(x)=

rac{d^{4}F(x)}{dx^{4}}

$$

此时，当且仅当$$

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$$

时，函数F(x)才取得极小值。

根据变分公式和以上结论，可以通过计算出函数F(x)的四阶导

数，进而解出最小值问题的解析解。这种求解方法在一些特定的

条件限制下非常有效，并且可以通过微积分基本公式对求解过程

进行简化。

四、如何应对高考中的变分法与最小值问题？

在高考中，变分法与最小值问题的症结在于难度较大，需要考

生具备一定的数学基础和综合能力。因此，考生需要事先了解基

本的求解步骤和方法，加强日常训练和复习。

首先，在学习变分法和最小值问题时，应该熟悉基本的定义、

概念和公式，特别是应想要预习一些典型的例题和应用，掌握变

分法和最小值问题的基本思路和求解方法。

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其次，要注意练习常用的数学工具和技巧，如微积分基本公式、

变量替换、积分分部法、数学归纳法等。这些方法可以对求解过

程进行优化和简化，提高解题效率。

此外，针对变分法和最小值问题的考点,考生要有心理准备，掌

握基本技巧的同时，遇到不确定或者困难的问题时，一定要保持

冷静，沉着应对，不要急躁或者慌张。

最后，考试过程中，要注意时间管理和策略，将注意力集中在

难点的解决上，防止浪费过多时间在简单题上，保证试卷的整体

质量和分数。此外，在平时的复习中，可以多做一些综合性强的

数学题，提高应用和解决问题的能力，为高考数学应试做好充分

准备。

总之，变分法和最小值问题对于理科生而言，是非常重要的数

学内容，掌握好这些内容，对于提高数学成绩和解决实际问题都

具有重要的帮助。考生只要多加练习和总结