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权方和不等式简单形式证明

权方和不等式（Cauchy-Schwarzinequality）是初等数学中的一

个重要定理，其简单形式可以用于证明许多重要的数学结论。本文将

以简单形式的权方和不等式为出发点，探讨其证明方法及其应用。

一、权方和不等式的简单形式

权方和不等式的简单形式是指如下的不等式：

$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq

(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2$$

其中$a_1,a_2,cdots,a_n$和$b_1,b_2,cdots,b_n$是任意实数。

这个不等式的意义是：对于任意实数$a_1,a_2,cdots,a_n$和

$b_1,b_2,cdots,b_n$，它们的平方和的乘积不小于它们的内积的平

方。

二、证明方法

权方和不等式的简单形式可以用许多不同的方法证明，下面介绍

其中两种比较简单的方法。

方法一：基于平均值不等式的证明

平均值不等式（ArithmeticMean-GeometricMeaninequality）

是一个重要的不等式，它表明对于任意$n$个非负实数

$x_1,x_2,cdots,x_n$，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，

即：

$$frac{x_1+x_2+cdots+x_n}{n}geqsqrt[n]{x_1x_2cdots

x_n}$$

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根据平均值不等式，我们可以得到如下的推论：

$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)geq

frac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2}{n}$$

$$(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq

frac{(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n}$$

将上述两个不等式相乘，得到：

$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq

frac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n^2}$$

我们再考虑$(a_1+a_2+cdots+a_n)(b_1+b_2+cdots+b_n)$的平

方，根据平方差公式，可以得到：

$$(a_1+a_2+cdots+a_n)(b_1+b_2+cdots+b_n)=sum_{i=1}^nsum_{j=

1}^na_ib_j=sum_{i=1}^na_isum_{j=1}^nb_j+sum_{j=1}^nb_jsum_{

i=1}^na_i-sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ib_j$$

将上述等式代入

$(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2$中，得到：

$$(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2=left(sum_{i=1}

^na_iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2$$$$=left(sum_{i=1}

^na_iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2+2left(sum_{i=1}^na