《电磁场与电磁波》笔记和课后习题(含考研真题)详解.pdfVIP

第1章矢量分析

1.1复习笔记

一、标量场和矢量场

1.一个只用大小描述的物理量为标量。若所研究的物理量为一标量，则该物理量所确定

的场为标量场，如温度场，密度场等。用一个标量函数来表示该场为

2.一个既有大小又有方向特性的物理量为矢量。若所研究的物理量为一矢量，则该物理

量所确定的场为矢量场，如力场、电场等。用一个矢量函数来表示该场为

二、标量场的方向导数与梯度

1.在直角坐标系中方向导数的计算公式为

式中，是方向l的方向余弦。

特点：方向导数既与所研究的点有关，也与方向有关。

2.标量场的梯度是一个矢量，在直角坐标系中，梯度的表达式为

在柱坐标系和球坐标系中，梯度的表达式为

标量场的梯度意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。

3.梯度运算的基本公式：

三、矢量场的散度与旋度

1.散度

矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。矢量场的散度

是个标量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中的计算式分别为

2.散度定理（高斯定理）

矢量场F的散度在体积V上的体积分，等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面积

分。

3.旋度

旋涡源密度矢量。矢量场的旋度是个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系

中分别表示为

4.斯托克斯定理

矢量场F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积

分。

四、无旋场与无散场

1.仅有散度源而无旋度源的矢量场为无旋场，如静电场，。

梯度矢量的重要性质：它的旋度恒等于零，即。

2.仅有旋度源而无散度源的矢量场为无散场，如恒定磁场，。

旋度矢量的重要性质：它的散度恒等于零，即。

五、格林定理

1.格林第一恒等式

2.格林第二恒等式

3.格林定理的应用：

（1）利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

（2）格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，

即可利用格林定理求解另一种场的分布。

六、亥姆霍兹定理

在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可表示为：

1.2课后习题详解

（一）思考题

1.1如果A·B＝A·C，是否意味着B＝C？为什么？

答：并不意味着B＝C。因为只要则

A·B＝A·C。此时的B和C并不是唯一的。所以A·B＝A·C，并不意味着B＝C。

1.2如果A×B＝A×C是否意味着B＝C为什么？

答：并不意味着B＝C。因为分别为满足右手螺旋

法则的单位矢量。只要B，A，C在同一平面上，则且则A×B＝

A×C，所以此时的B和C也不唯一确定。

1.3两个矢量的点积能是负的吗？如果是，必须是什么情况？

答：能是负的。因为当时，则A·B＜0。

1.4什么是单位矢量？什么是常矢量？单位矢量是否为常矢量？

答：模等于1的矢量叫做单位矢量。常矢量是指大小和方向都不变的矢量。单位矢量不一

定都是常矢量。

1.5在圆柱坐标系中，矢量其中a、b、c为常数，则A是常矢量吗？为什么？

答：A是常矢量。

1.6在球坐标系中，矢量其中a为常数，则A能是常矢量吗？为什么？

答：A是常矢量。

∴A为常矢量。

1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0分别表示什么意义？

答：矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：

当时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出

矢量线的源，称为正通量源。

当时，表示穿出闭合曲面S的通量少于进入的通量，此时闭合曲面S内必有汇集

矢量线的源，称为负通量