数值计算方法-数值分析课件.pptxVIP

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理学院;;;简言之:既“快”又“准”;§1误差/*Error*/;二、误差分析的基本概念/*BasicConcepts*/;近似值的误差与准确值的比值:;?相对误差也可正可负;注:0.2300有4位可能有效数字,而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123?105,则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去!;例3;大家一起猜?;一个算法如果输入数据有扰动(即误差),而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的,否则此算法就称为不稳定的。;此公式精确成立;考察第n步的误差;取;考察反推一步的误差:;§2误差分析的方法和原则/*ErrorAnalysis*/;(2)对于函数y=f(x),若用x*取代x,将对y产生什

么影响?;;例7;2、向后误差分析法:把舍入误差的累积与导出的已知量的某种摄动(微小误差)等价起来,;二、几点注意事项/*Remarks*/;2、避免小分母:分母小会造成浮点溢出/*overflow*/;算法2:先解出

再利用;称为尾数,j为阶;例如:;故F中有33个浮点数(加上0):;第四章多项式插值与函数逼近

/*PolynomialInterpolationandApproximationofFunctions*/;§3拉格朗日多项式(LagrangeInterpolationPolynomial);n=2;;;若记;例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。;截断误差;注:(1)插值误差与节点和之间的距离有关;

(2)如果本身为多项式,其插值函数为本身。

(3)通常不能确定,而是估计,x?(a,b)

将作为误差估计上限。;Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像?;例1:已知;高次插值通常优于低次插值;?反插值问题;xi;二、牛顿插值/*Newton’sInterpolation*/;;;;注:?由唯一性可知Nn(x)?Ln(x),只是算法不同,故其余项也相同,即;例3:已知函数的函数表:;§5分段插值(PiecewiseInterpolation);注意下面图中

曲线的变化情况!;2、从稳定性角度分析;二、分段插值的构造方法;分段线性

插值基函数;;;三、埃尔米特插值/*HermiteInterpolation*/;对于Hermite插值问题,主要讨论下面的特殊情形:;思想;;解之得;;全导数的Hermite插值多项式;;;;四、三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/;1、三次样条函数的力学背景;在力学上,通常均匀细木条可以看作弹性细梁,压铁看作是作用在梁上的集中载荷,“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。;2、三次样条函数定义及求法;假设现在已知函数在节点处的函数值:;线性插值函数;代入插值条件:;的计算方法:;由;由;写成方程组的形式:;其中同前;写成方程组的形式:;;M连续方程在各类边界条件下的求解方法;从而得到方程组(三对角):;?对于第二类边界条件;上述两种情况得到的方程组,可以写成统一形式:;;第三类边界条件对应的方程组:;;三弯矩方程组;三次样条插值函数;;定理2.5.4(误差估计);定理2.5.5(极小模性质);*六、B-样条函数(B-spline);广义多项式;;?函数逼近构造思想:;;注:?Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质;;;几何意义;(Chebyshev定理);补充性质:;例1:求函数在上的一次最佳一致逼近多项式。;相应的方程组为;;最佳一致逼近多项式求解过程总结;Chebyshev最佳逼近多项式;?Chebyshev近似最佳逼近求法;则以Chebyshev零点为节点构

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