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高考数学复习专题基本不等式--第1页
高考数学复习专题基本不等式
全国名校高考数学复优质学案、专题汇编(附详解)
高考数学复专题:基本不等式
一、基本不等式
1.基本不等式:对于任意非负实数$a$和$b$,有$a+b
,等号成立当且仅当$a=b$。
2.算术平均数与几何平均数:设$a0$,$b0$,则
$a$和$b$的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题:
1)如果积$xy$是定值$P$,那么当且仅当$x=y$时,
$x+y$有最小值。
高考数学复习专题基本不等式--第1页
高考数学复习专题基本不等式--第2页
2)如果和$x+y$是定值$P$,那么当且仅当$x=y$时,
$xy$有最大值$
rac{P}{4}$。
4.常用结论:
1)($a$,$b$为任意实数)。
2)($a$,
$b$为同号实数)。
3)($a$,
$b$为任意实数)。
4)
rac{3}{2}$($a$,$b$,$c$为正实数)。
5)$2(a+b)($a$,$b$为任意实数)。
6)($a$,
$b$为任意实数)。
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7)($a0$,$b0$)。
二、基本不等式在实际中的应用
1.问题的背景是人们关心的社会热点问题,如物价、销售、
税收等。题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用
信息,建立数学模型,转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、
二次函数、分段函数以及$y=ax+b$($a0$,$b0$)等。解
答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质,基本
不等式,函数的单调性或导数求解。
考点突破一:利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧:
1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式。
高考数学复习专题基本不等式--第3页
高考数学复习专题基本不等式--第4页
2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式
子进行恒等变形,如构造“1”的代换等。常见的变形手段有拆、
并、配。
①拆——裂项拆项:对分子的次数不低于分母次数的分
式进行整式分离,分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中
分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条
件。
分组并项的目的是将问题分组后,通过应用基本不等式来
得出每组的最值,或者先在一组中应用基本不等式,再在组与
组之间应用基本不等式得出最值。
配式配系数的方法常常用于挖掘出“积”或“和”为定值的情
况。通过合理的配式和配系数,可以得到一个可以应用基
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