高考数学复习专题 基本不等式.pdfVIP

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高考数学复习专题基本不等式--第1页

高考数学复习专题基本不等式

全国名校高考数学复优质学案、专题汇编(附详解)

高考数学复专题:基本不等式

一、基本不等式

1.基本不等式:对于任意非负实数$a$和$b$,有$a+b

,等号成立当且仅当$a=b$。

2.算术平均数与几何平均数:设$a0$,$b0$,则

$a$和$b$的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题:

1)如果积$xy$是定值$P$,那么当且仅当$x=y$时,

$x+y$有最小值。

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2)如果和$x+y$是定值$P$,那么当且仅当$x=y$时,

$xy$有最大值$

rac{P}{4}$。

4.常用结论:

1)($a$,$b$为任意实数)。

2)($a$,

$b$为同号实数)。

3)($a$,

$b$为任意实数)。

4)

rac{3}{2}$($a$,$b$,$c$为正实数)。

5)$2(a+b)($a$,$b$为任意实数)。

6)($a$,

$b$为任意实数)。

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7)($a0$,$b0$)。

二、基本不等式在实际中的应用

1.问题的背景是人们关心的社会热点问题,如物价、销售、

税收等。题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用

信息,建立数学模型,转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、

二次函数、分段函数以及$y=ax+b$($a0$,$b0$)等。解

答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质,基本

不等式,函数的单调性或导数求解。

考点突破一:利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧:

1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式。

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2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式

子进行恒等变形,如构造“1”的代换等。常见的变形手段有拆、

并、配。

①拆——裂项拆项:对分子的次数不低于分母次数的分

式进行整式分离,分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中

分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条

件。

分组并项的目的是将问题分组后,通过应用基本不等式来

得出每组的最值,或者先在一组中应用基本不等式,再在组与

组之间应用基本不等式得出最值。

配式配系数的方法常常用于挖掘出“积”或“和”为定值的情

况。通过合理的配式和配系数,可以得到一个可以应用基

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