高等数学教材东北大学答案.pdfVIP

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高等数学教材东北大学答案--第1页

高等数学教材东北大学答案

一、导数与微分

1.1导数的定义和几何意义

1.1.1导数的定义

导数是函数在一点上的局部性质,用于刻画函数在该点附近的变化

速率。设函数f(x)在点x0的某个邻域有定义,若极限

lim_(Δx→0)[f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx

存在,则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数,记作f(x0),即

f(x_0)=lim_(Δx→0)[f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx

1.1.2导数的几何意义

导数表示了函数在某一点处的切线斜率,也即函数在该点的变化速

率。若函数f(x)在点x0可导,则函数f(x)在该点处的切线方程为

y=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)

1.2导数运算法则

1.2.1四则运算法则

设函数f(x)和g(x)都在点x0处可导,则

(1)(f+g)(x_0)=f(x_0)+g(x_0)

(2)(f-g)(x_0)=f(x_0)-g(x_0)

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(3)(f*g)(x_0)=f(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g(x_0)

(4)若g(x_0)≠0,则(f/g)(x_0)=[f(x_0)*g(x_0)-

f(x_0)*g(x_0)]/[g(x_0)]^2

1.2.2复合函数的导数

若f(x)在点x=g(t)处可导,g(t)在点t处可导,则复合函数F(t)=f(g(t))

在点t处可导,并且有

F(t)=f(g(t))*g(t)

1.2.3反函数的导数

若函数f(x)在点x0处连续且可导,且f(x0)≠0,则其反函数f^(-1)(x)

在点f(x0)处可导,并且有

[f^(-1)](x_0)=1/[f(f^(-1)(x_0))]

1.3高阶导数与隐函数求导

1.3.1高阶导数

若函数f(x)的导数f(x)在区间I上有定义,则可以考虑它的导数

f(x),称之为f(x)的二阶导数。类似地,可以定义f(x)的n阶导数,记

作f^(n)(x)。

1.3.2隐函数求导法

设方程F(x,y)=0确定了函数y=y(x),其中F(x,y)在点(x0,y0)的某个

邻域有定义。若

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(1)F(x0,y0)=0

(2)F(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内连续

(3)y=y(x)在某个邻域内有定义

(4)y0=y(x0)

(5)F(x,y)在点(x0,y0)偏y的偏导数F_y(x0,y0)存在且连续

则函数y=y(x)在点x=x0处可导,并且有

dy/dx=-F_x(x0,y0)/F_y(x0,y0)

二、定积分与不定积分

2.1定积分的定义和几何意义

2.1.1定积分的定义

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,则对于[a,b]的任意分割

P={x_0,x_1,...,x_n},以及任意在[x_i,x_(i+1)]上取点ξ_i,构造和式

S(P,ξ)=Σ[f(ξ_i)Δx_i]

其中,Δx_i=x_i-x_(i-1),ξ_i∈[x_(i-1),x_i],称之为函数f(x)在区间

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