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高等数学教材东北大学答案--第1页
高等数学教材东北大学答案
一、导数与微分
1.1导数的定义和几何意义
1.1.1导数的定义
导数是函数在一点上的局部性质,用于刻画函数在该点附近的变化
速率。设函数f(x)在点x0的某个邻域有定义,若极限
lim_(Δx→0)[f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx
存在,则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数,记作f(x0),即
f(x_0)=lim_(Δx→0)[f(x_0+Δx)-f(x_0)]/Δx
1.1.2导数的几何意义
导数表示了函数在某一点处的切线斜率,也即函数在该点的变化速
率。若函数f(x)在点x0可导,则函数f(x)在该点处的切线方程为
y=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)
1.2导数运算法则
1.2.1四则运算法则
设函数f(x)和g(x)都在点x0处可导,则
(1)(f+g)(x_0)=f(x_0)+g(x_0)
(2)(f-g)(x_0)=f(x_0)-g(x_0)
高等数学教材东北大学答案--第1页
高等数学教材东北大学答案--第2页
(3)(f*g)(x_0)=f(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g(x_0)
(4)若g(x_0)≠0,则(f/g)(x_0)=[f(x_0)*g(x_0)-
f(x_0)*g(x_0)]/[g(x_0)]^2
1.2.2复合函数的导数
若f(x)在点x=g(t)处可导,g(t)在点t处可导,则复合函数F(t)=f(g(t))
在点t处可导,并且有
F(t)=f(g(t))*g(t)
1.2.3反函数的导数
若函数f(x)在点x0处连续且可导,且f(x0)≠0,则其反函数f^(-1)(x)
在点f(x0)处可导,并且有
[f^(-1)](x_0)=1/[f(f^(-1)(x_0))]
1.3高阶导数与隐函数求导
1.3.1高阶导数
若函数f(x)的导数f(x)在区间I上有定义,则可以考虑它的导数
f(x),称之为f(x)的二阶导数。类似地,可以定义f(x)的n阶导数,记
作f^(n)(x)。
1.3.2隐函数求导法
设方程F(x,y)=0确定了函数y=y(x),其中F(x,y)在点(x0,y0)的某个
邻域有定义。若
高等数学教材东北大学答案--第2页
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(1)F(x0,y0)=0
(2)F(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内连续
(3)y=y(x)在某个邻域内有定义
(4)y0=y(x0)
(5)F(x,y)在点(x0,y0)偏y的偏导数F_y(x0,y0)存在且连续
则函数y=y(x)在点x=x0处可导,并且有
dy/dx=-F_x(x0,y0)/F_y(x0,y0)
二、定积分与不定积分
2.1定积分的定义和几何意义
2.1.1定积分的定义
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,则对于[a,b]的任意分割
P={x_0,x_1,...,x_n},以及任意在[x_i,x_(i+1)]上取点ξ_i,构造和式
S(P,ξ)=Σ[f(ξ_i)Δx_i]
其中,Δx_i=x_i-x_(i-1),ξ_i∈[x_(i-1),x_i],称之为函数f(x)在区间
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