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第三章线性方程组

§1消元法

一授课内容:§1消元法

二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消

元法解线性方程组。

三教学重难点:用消元法解线性方程组.

四教学过程：

所谓的一般线性方程组是指形式为

（1）

的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，(，)称为方程组的系数,

（）称为常数项.

所谓方程组(1）的的一个解就是指由个数组成的有序数组（），

当分别用代入后,（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全

体称为它的解集合.

解方程组实际上就是找出它的全部解,或则说,求出它的解集合.如果

两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方

程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵

来表示.

在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元,三元

线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。

分析一下消元法，不难看出,它实际上是反复的对方程组进行变换,

而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1．用一非零的数乘某一方程.

2．把一个方程的倍数加到另一方程.

3．互换两个方程的位置。

定义1变换1，2,3称为线性方程组的初等变换。

消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.

可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。

对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到

一个阶梯形方程组.

（5）

显然(5）与（1）是同解的。考察（5）的解的情况.

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如（5）中的方程,而这时不管取什么值都不能使它成为等式,故(5）

无解，因而（1)也无解.

当，或（5）中根本没有“”的方程时，分两种情况:

1），这时阶梯形方程组为

有唯一解。

例解方程组。

解上述方程有唯一的解.

2），这时阶梯形方程组为

其中,，把它改写成

（7)

由（7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）

的一般解，而称为一组自由未知量.

例解方程组.

解一般解为。

定理1在齐次线性方程组

中，如果，那么它必有非零解.

把矩阵

称为线性方程组（1）的增广矩阵,显然，用初等变换花线性方程组（1）

成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵。

例解方程组.

解：

从最后一行可以看出原方程组无解.

§2维向量空间

一授课内容：§2维向量空间

二教学目的：