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2023年全国高考数学试题真题——数列
班级___________姓名__________________学号_______
1.(2023年新课标Ⅰ卷第20题)设等差数列的公差为,且.令,记分别为数列的前项和.
(1)若,求的通项公式;
(2)若为等差数列,且,求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;
(2)由为等差数列得出或,再由等差数列的性质可得,分类讨论即可得解.
【详解】(1),,解得,
,
又,
,
即,解得或(舍去),
.
(2)为等差数列,
,即,
,即,解得或,
,,
又,由等差数列性质知,,即,
,即,解得或(舍去)
当时,,解得,与矛盾,无解;
当时,,解得.
综上,.
2.(2023年新课标Ⅱ卷第18题)已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,.
(1)求的通项公式;
(2)证明:当时,.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)设等差数列的公差为,用表示及,即可求解作答.
(2)方法1,利用(1)的结论求出,,再分奇偶结合分组求和法求出,并与作差比较作答;方法2,利用(1)的结论求出,,再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出,并与作差比较作答.
【详解】(1)设等差数列的公差为,而,
则,
于是,解得,,
所以数列的通项公式是.
(2)方法1:由(1)知,,,
当为偶数时,,
,
当时,,因此,
当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
方法2:由(1)知,,,
当为偶数时,,
当时,,因此,
当为奇数时,若,则
,显然满足上式,因此当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
3.(2023年全国乙卷(文数)第18题)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意列式求解,进而可得结果;
(2)先求,讨论的符号去绝对值,结合运算求解.
【详解】(1)设等差数列的公差为,
由题意可得,即,解得,
所以,
(2)因为,
令,解得,且,
当时,则,可得;
当时,则,可得
;
综上所述:.
4.(2023年全国甲卷(理数)第17题)设为数列的前n项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据即可求出;
(2)根据错位相减法即可解出.
【详解】(1)因为,
当时,,即;
当时,,即,
当时,,所以,
化简得:,当时,,即,
当时都满足上式,所以.
(2)因为,所以,
,
两式相减得,
,
,即,.
5.(2023年北京卷第21题)已知数列的项数均为m,且的前n项和分别为,并规定.对于,定义,其中,表示数集M中最大的数.
(1)若,求的值;
(2)若,且,求;
(3)证明:存在,满足使得.
【答案】(1),,,
(2)
(3)证明见详解
【分析】(1)先求,根据题意分析求解;
(2)根据题意题意分析可得,利用反证可得,在结合等差数列运算求解;
(3)讨论的大小,根据题意结合反证法分析证明.
【详解】(1)由题意可知:,
当时,则,故;
当时,则,故;
当时,则故;
当时,则,故;
综上所述:,,,.
(2)由题意可知:,且,
因为,则,当且仅当时,等号成立,
所以,
又因为,则,即,
可得,
反证:假设满足的最小正整数为,
当时,则;当时,则,
则,
又因为,则,
假设不成立,故,
即数列是以首项为1,公差为1的等差数列,所以.
(3)(ⅰ)若,构建,由题意可得:,且为整数,
反证,假设存在正整数,使得,
则,可得,
这与相矛盾,故对任意,均有.
①若存在正整数,使得,即,
可取,使得;
②若不存在正整数,使得,
因为,且,
所以必存在,使得,
即,可得,
可取,使得;
(ⅱ)若,构建,由题意可得:,且为整数,
反证,假设存在正整数,使得,
则,可得,
这与相矛盾,故对任意,均有.
①若存在正整数,使得,即,
可取,使得;
②若不存在正整数,使得,
因为,且,
所以必存在,使得,
即,可得,
可取,使得;
综上所述:存在使得.
【点睛】方法点睛:对于一些直接说明比较困难的问题,可以尝试利用反证法分析证明.
6.(2023年天津卷第19题)已知是等差数列,.
(1)求的通项公式和.
(2)已知为等比数列,对于任意,若,则,
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)求的通项公式及其前项和.
【答案】(1),;
(2)(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ),前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程,解方程可得,据此可求得数列的通项公式,然后确定所给的求和公式里面的首项和
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