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2023年全国高考数学试题真题——数列

班级___________姓名__________________学号_______

1.(2023年新课标Ⅰ卷第20题)设等差数列的公差为,且.令,记分别为数列的前项和.

(1)若,求的通项公式;

(2)若为等差数列,且,求.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

(2)由为等差数列得出或,再由等差数列的性质可得,分类讨论即可得解.

【详解】(1),,解得,

又,

即,解得或(舍去),

.

(2)为等差数列,

,即,

,即,解得或,

,,

又,由等差数列性质知,,即,

,即,解得或(舍去)

当时,,解得,与矛盾,无解;

当时,,解得.

综上,.

2.(2023年新课标Ⅱ卷第18题)已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,.

(1)求的通项公式;

(2)证明:当时,.

【答案】(1);

(2)证明见解析.

【分析】(1)设等差数列的公差为,用表示及,即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的结论求出,,再分奇偶结合分组求和法求出,并与作差比较作答;方法2,利用(1)的结论求出,,再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出,并与作差比较作答.

【详解】(1)设等差数列的公差为,而,

则,

于是,解得,,

所以数列的通项公式是.

(2)方法1:由(1)知,,,

当为偶数时,,

当时,,因此,

当为奇数时,,

当时,,因此,

所以当时,.

方法2:由(1)知,,,

当为偶数时,,

当时,,因此,

当为奇数时,若,则

,显然满足上式,因此当为奇数时,,

当时,,因此,

所以当时,.

3.(2023年全国乙卷(文数)第18题)记为等差数列的前项和,已知.

(1)求的通项公式;

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意列式求解,进而可得结果;

(2)先求,讨论的符号去绝对值,结合运算求解.

【详解】(1)设等差数列的公差为,

由题意可得,即,解得,

所以,

(2)因为,

令,解得,且,

当时,则,可得;

当时,则,可得

综上所述:.

4.(2023年全国甲卷(理数)第17题)设为数列的前n项和,已知.

(1)求的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据即可求出;

(2)根据错位相减法即可解出.

【详解】(1)因为,

当时,,即;

当时,,即,

当时,,所以,

化简得:,当时,,即,

当时都满足上式,所以.

(2)因为,所以,

两式相减得,

,即,.

5.(2023年北京卷第21题)已知数列的项数均为m,且的前n项和分别为,并规定.对于,定义,其中,表示数集M中最大的数.

(1)若,求的值;

(2)若,且,求;

(3)证明:存在,满足使得.

【答案】(1),,,

(2)

(3)证明见详解

【分析】(1)先求,根据题意分析求解;

(2)根据题意题意分析可得,利用反证可得,在结合等差数列运算求解;

(3)讨论的大小,根据题意结合反证法分析证明.

【详解】(1)由题意可知:,

当时,则,故;

当时,则,故;

当时,则故;

当时,则,故;

综上所述:,,,.

(2)由题意可知:,且,

因为,则,当且仅当时,等号成立,

所以,

又因为,则,即,

可得,

反证:假设满足的最小正整数为,

当时,则;当时,则,

则,

又因为,则,

假设不成立,故,

即数列是以首项为1,公差为1的等差数列,所以.

(3)(ⅰ)若,构建,由题意可得:,且为整数,

反证,假设存在正整数,使得,

则,可得,

这与相矛盾,故对任意,均有.

①若存在正整数,使得,即,

可取,使得;

②若不存在正整数,使得,

因为,且,

所以必存在,使得,

即,可得,

可取,使得;

(ⅱ)若,构建,由题意可得:,且为整数,

反证,假设存在正整数,使得,

则,可得,

这与相矛盾,故对任意,均有.

①若存在正整数,使得,即,

可取,使得;

②若不存在正整数,使得,

因为,且,

所以必存在,使得,

即,可得,

可取,使得;

综上所述:存在使得.

【点睛】方法点睛:对于一些直接说明比较困难的问题,可以尝试利用反证法分析证明.

6.(2023年天津卷第19题)已知是等差数列,.

(1)求的通项公式和.

(2)已知为等比数列,对于任意,若,则,

(Ⅰ)当时,求证:;

(Ⅱ)求的通项公式及其前项和.

【答案】(1),;

(2)(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ),前项和为.

【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程,解方程可得,据此可求得数列的通项公式,然后确定所给的求和公式里面的首项和

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